Через кінці відрізка DP і його середину А, проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину φ у точках D1, P1 і А1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка РР1, якщо відрізок DP не перетинає площину φ і DD1=25см, АА1=13см.

Оскільки відрізок DP не перетинає площину φ, то трикутники D1P1A1 та DPA є подібними. Тому використаємо властивість подібних трикутників: відношення довжин сторін подібних трикутників рівне відношенню довжин відповідних сторін.

За теоремою про серединний перпендикуляр у трикутнику, відрізок А1P1 ділить відрізок АD навпіл, тому АP = PD.

Позначимо довжину відрізка РР1 через х. Оскільки DP і P1A1 є паралельними, то за теоремою про паралельні прямі, АР1 = P1P = х.

За теоремою Піфагора у трикутнику D1PD маємо:

DD1^2 + DP^2 = 2D1P^2

Отже,

DP^2 = 2D1P^2 - DD1^2

За теоремою Піфагора у трикутнику А1PA маємо:

AA1^2 + AP^2 = 2A1P^2

Оскільки AP = PD, то можна переписати це рівняння у вигляді:

AA1^2 + PD^2 = 2P1D^2

Або, використовуючи властивість подібних трикутників:

AA1^2 + PD^2 = 2(DP + P1P)^2

Підставляємо DP^2 з першого рівняння у друге:

AA1^2 + (2D1P^2 - DD1^2) = 2(DP + х)^2

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

AA1^2 + 2D1P^2 - DD1^2 = 2DP^2 + 4хDP + 2х^2

Підставляємо DP^2 з першого рівняння та AP = PD у це рівняння:

AA1^2 + 2D1P^2 - DD1^2 = 4D1P^2 + 4х(AP + D1P) + 2х^2

AA1^2 - 2DD1^2 - 2хAP = 2х^2

2х^2 + 26х - 625 = 0

х^2 + 13х - 312.5 = 0

(х + 25)(х - 12.5) = 0

Отже, х = 12.5.

Отже,