Вычислить предел lim (d(n)/n) - где d(n), кол-во цифр числа n n->+беск. Created by Viva8888. matematika-ru

Последовательность стремится к нулю, поэтому исходная последовательность стремится к нулю по лемме о "двух правоохранителях" (милиционерах, полицейских, жандармах, копах и т.д - в зависимости от страны и эпохи).Доказать, что можно многими способами (с помощью правила Лопиталя, теоремы Штольца, бинома Ньютона, неравенства Бернулли - кто подскажет еще способ?).Например, бином Ньютона дает нам следующую оценку:.Неравенство Бернулли применяем так: Лопиталь заменяет n на x, проверяет наличие неопределенности вычисляет предел отношения производных: и поскольку предел отношения производных существует и равен нулю, исходный предел также равен нулю. Штольц не так хорошо известен, но наш предел вычисляет мгновенно. Однако я устал и (возможно) утомил читателя. Поэтому, памятуя Козьму Пруткова, заканчиваю.

n) - где d(n), кол-во цифр числа n n->+беск...

Viva8888 @Viva8888

November 2021 1 7 Report

Вычислить предел lim (d(n)/n) - где d(n), кол-во цифр числа n
n->+беск

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

$a_1=\frac{d(1)}{1}=1> a_2=\frac{d(2)}{2}=\frac{1}{2}>a_3=\frac{1}{3}>\ldots >a_9=\frac{1}{9}\Rightarrow 0$

$a_{10}=\frac{d(10)}{10}=\frac{2}{10}>a_{11}=\frac{2}{11}>\ldots > a_{99}=\frac{2}{99}\Rightarrow 0$

$a_{10^{n-1}}=\frac{d(10^{n-1})}{10^{n-1}}=\frac{n}{10^{n-1}}>\ldots >a_{10^n-1}=\frac{n}{10^n-1}\Rightarrow$

$0$

Последовательность $\{\frac{n}{10^{n-1}}\}$ стремится к нулю, поэтому исходная последовательность стремится к нулю по лемме о "двух правоохранителях" (милиционерах, полицейских, жандармах, копах и т.д - в зависимости от страны и эпохи).

Доказать, что $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n}{10^{n-1}}=0$ можно многими способами (с помощью правила Лопиталя, теоремы Штольца, бинома Ньютона, неравенства Бернулли - кто подскажет еще способ?).

Например, бином Ньютона дает нам следующую оценку:

$10^{n-1}=(1+9)^{n-1}=1+9(n-1)+9^2\frac{(n-1)(n-2)}{2}+\ldots +9^{n-1}>(n-1)(n-2)\Rightarrow$

$0$ .

Неравенство Бернулли применяем так:

$10^{n-1}=2^{n-1}\cdot 5^{n-1}=(1+1)^{n-1}\cdot 5^n\ge (1+(n-1)\cdot 1)\cdot 5^{n-1}=n\cdot 5^{n-1}\Rightarrow$

$\frac{n}{10^{n-1}}$

Лопиталь заменяет n на x, проверяет наличие неопределенности

$\left(\frac{\infty}{\infty}\right),$ вычисляет предел отношения производных:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x'}{(10^{x-1})'}=\lim\frac{1}{10^{x-1}\cdot \ln 10}=0,$ и поскольку предел отношения производных существует и равен нулю, исходный предел также равен нулю.

Штольц не так хорошо известен, но наш предел вычисляет мгновенно. Однако я устал и (возможно) утомил читателя. Поэтому, памятуя Козьму Пруткова, заканчиваю.

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

reshite zadachu dayu 40

n = 3,(2021)...

1 an a1 1v predydushih zadaniyah ya proveryal na monotonnostvozrastaet ili

najti modul chastnogo

pomogite reshit zadachu s obyasneniem3b70008a8a08432d06983492f05ab363 6439

reshite neravenstvo s poyasneniem

najdite summu vseh celyh x dlya kotoryh vypolneno neravenstvo

pri kakih a uravnenie imeet odin koren

najti znachenie proizvodnoj funkciid8f48b96eae1ca931db430bd38aa85f1 71205

pomogite reshit s poyasneniem77de4b8f4253c11dc58395504ad04652 7255

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social