Verified answer

Докажем, что в условиях задачи найдется точка на окружности, не принадлежащая ни одной дуге.  Из всех дуг выберем самую длинную (если таких несколько, возьмем любую из них). Чтобы рассуждение было более наглядным, повернем окружность так, чтобы эта дуга располагалась в верхней половине окружности, и мы могли говорить о ее левом конце и правом конце. Любая дуга или целиком лежит внутри выбранной, или внутри лежит один из ее концов. Выберем вторую дугу так, чтобы ее правый конец лежал внутри первой дуги, а левый лежал левее левого конца первой дуги, причем из всех таких дуг выберем ту, которая дальше всего вылезает за пределы первой дуги. Третью дугу выберем аналогично, только она должна максимально вылезать за пределы первой дуги с другой стороны. При этом по условию эти три дуги имеют общую точку (естественно, эта общая точка лежит внутри первой дуги). А тогда вторая и третья дуги не могут пересечься за пределами первой дуги, поскольку сумма их длин меньше длины всей окружности. Это доказывает наше предварительное утверждение.

Чтобы еще упростить задачу, разрежем окружность в точке, не принадлежащей ни одной дуге, и распрямим ее, сделав отрезком. Данные дуги станут также отрезками. Докажем, что все левые концы этих отрезков лежат левее всех правых концов (ну хорошо, возможно, совпадение некоторых левых концов и правых концов). Это почти очевидно - ведь иначе, если бы левый конец какого-то отрезка был правее правого конца другого отрезка, то эти отрезки не имели бы общих точек.

Дальше все просто - отрезок (возможно, сводящийся к точке), левый конец которого является самым правым из левых концов, а правый конец является самым левым из правых концов, принадлежит всем данным отрезкам.

Пример для дуг произвольного размера привести просто - скажем, достаточно взять четыре полуокружности - верхнюю, нижнюю, левую и правую. Если взять любые три из них, две обязательно будут покрывать всю окружность, пересекаясь в концевых точках, третья же будет содержать одну из этих концевых. Все же четыре полуокружности естественно не имеют общей точки.