Найдите сумму ряда :. Created by antonovm. algebra-ru

Ответ:Объяснение: , а значит, по радикальному признаку Коши, исходный ряд сходится абсолютно. Используя известное разложение , получим ___________________________ Переход [*] справедлив, так как , то есть, по радикальному признаку Коши, каждый из рядов-слагаемых сходится абсолютно

Найдите сумму ряда :...

antonovm @antonovm

July 2022 1 76 Report

Найдите сумму ряда :

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$3\ln\dfrac{3}{2}-1$

Объяснение:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n^2+n)\cdot 2^n}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\cdot \underbrace{\dfrac{1}{(n^2+n)\cdot 2^n}}_{a_n}=(*)$

$a_n>0;\; \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{2}$ , а значит, по радикальному признаку Коши, исходный ряд сходится абсолютно.

$a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\cdot \dfrac{1}{2^n}=\left(\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}\right)\cdot \dfrac{1}{2^n}$

$(*)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\cdot\left(\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}\right)\cdot \dfrac{1}{2^n}\overset{[*]}{=} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}=\\ =\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}+\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(-1)^{n}}{2^n}-1=$

$=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^n}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{(-1)^{k-1}}{2^{k-1}}-1=\\ =\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}+2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{(-1)^{k-1}}{2^{k}}-1=3\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}-1=\\ =3\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (1/2)^{n}}{n} -1=(**)$

Используя известное разложение

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot x^{n}}{n}=\ln(x+1),|x|$ , получим

$(**)=3\ln\left(\dfrac{1}{2}+1\right)-1=3\ln\dfrac{3}{2}-1$

___________________________

Переход [*] справедлив, так как $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n\cdot 2^n}}=\dfrac{1}{2}$ , то есть, по радикальному признаку Коши, каждый из рядов-слагаемых сходится абсолютно

1 votes Thanks 1

igorShap Еще была идея заменить 2 на параметр a, и затем 2 раза продифференцировать. Как раз в знаменателе n и n+1 уйдут

igorShap -2, конечно

igorShap Но, скорее всего, лучше там не вышло бы

antonovm Спасибо , всё как всегда классно и хорошо , что в начале доказали сходимость , идея у меня была другой и я на неё намекал - просто проинтегрировать логарифмический ряд и подставить x = 1/2 , я думал , что произведение n(n+1) подскажет этот путь

antonovm Вот это и есть " школьный путь " : 2 раза проинтегрировать сумму бесконечной геометрической прогрессии

antonovm бесконечно - убывающей

igorShap А. Я интегрирование не считал "школьным" методом. Но да, там хорошо выйдет, и значительно лучше, чем при дифференцировании. Спасибо

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

...

...

najdite naimenshee znachenie funkcii8e64d1a0757fa39a87dee8544ef88d14 70331

v treugolnike avs as 12 ab 10 ce i ad ego mediany m centr tyazhest

dlya podgotovki k ege najti vse znacheniya parametra dlya kotoryh uravnenie 20lg

4)...

najdite naibolshee znachenie funkciiaf60dcebf1391ecc9bc9367b2c66d2b5 29557

...

v treugolnike avs storony av i vs ravny ugol v raven 100 ad bissektrisa

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social