Найти общее решение (общий интеграл) для дифференциального уравнения, допускающе...

Mixtit @Mixtit

December 2021 1 17 Report

Найти общее решение (общий интеграл) для дифференциального уравнения,
допускающего понижение порядка.

Answers & Comments

Miroslava227

Ответ:

$y'' - {e}^{y} y' = 0$

понижаем порядок:

$y'= z(y)\\ y'' = z'(y) \times y'\\ y''= z' \times z$

$z' \times z - {e}^{y} z = 0 \\ \frac{dz}{dy} \times z = {e}^{y}z \\ \frac{dz}{dy} = {e}^{y} \\ z = \int\limits {e}^{y} dy \\ z = {e}^{y} + C1 \\ y' = {e}^{y} + C1 \\ \frac{dy}{dx} = {e}^{y} + C1 \\ \int\limits \frac{dy}{ {e}^{y} + C1} = \int\limits \: dx$

$\\ \int\limits \frac{dy}{ {e}^{y} + C1}$

${e}^{y} = t \\ {e}^{y} dy = dt \\ dy = \frac{dt}{t}$

$\int\limits \frac{dt}{t(t + C1)} \\ \\ \\ \frac{1}{t(t + C1)} = \frac{ A}{t} + \frac{B}{t + C1} \\ 1 = A(t + C1) + Bt \\ \\ 1 = AC1 \\ 0 = A + B\\ A= \frac{1}{C1} \\ B = - \frac{1}{C1}$

$\frac{1}{C1} \int\limits \frac{dt}{t} - \frac{1}{C1} \int\limits\frac{dt}{t + C1} = \\ = \frac{1}{C1} ( ln(t) - ln(t + C1)) = \\ = \frac{1}{C1} ln( \frac{t}{t + C1} ) = \frac{1}{C1} ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} )$

$\frac{1}{C1} ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} ) = x + C2 \\ln( \frac{ {e}^{y} }{ {e}^{y} + C1} ) = C1(x + C2 )\\$

1 votes Thanks 0

Mixtit Огромное спасибо

Mixtit Я тебя люблю

Answers & Comments

vychislit chastnye proizvodnye

proshu pomogite s algebroj pervoe zadanie sleva vtoroe zadanie sprava

differencialnoe uravnenie4c639c03e4c7c29ceeca154af809bf5d 77735

vychislit dvojnoj integral sleva pervoe zadanie sprava vtoroe zadanie

tolko pervuyu zadachu4ec722b06e16b71c876381d8b380d832 20746

vychislit chastnye proizvodnye vtorogo poryadkafb64b9431ffd04e6453e361a3be27f9a 61467

najti obshee reshenie sistemy differencialnyh uravnenij

differencialnoe uravnenie s razdelyayushimisya peremennymi

najti chastnoe reshenie linejnogo neodnorodnogo differencialnogouravneniya vtorogo

vychislit krivolinejnyj integral

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social