Треугольники АВС и КВМ подобны, так как <B у них общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны: ВМ/ВС=ВК/АВ=1/3.Тогда отрезок МК=24*(1/3)=8. По теореме косинусов в треугольнике АВС: CosA=(AB²+AC²-BC²)/(2*АВ*AC) = (12²+24²-18²)/(2*12*24). CosA=(720-324)/576=0,6875. По теореме косинусов в треугольнике АМС: МС²=АМ²+АС²-2*АМ*АС*CosA = 36+576-2*12*0,6875=414. По теореме косинусов в треугольнике КМС: CosK = (MK²+KC²-MC²)/(2*MK*KC) = (64+196-414)/224=-0,6875. Мы видим, что косинусы углов А и К в четырехугольнике АМКС отличаются только знаком. Следовательно, они в сумме равны 180°, а это значит, что около четырехугольника АМКС можно описать окружность и притом ТОЛЬКО ОДНУ. Что и требовалось доказать. Значит, чтобы найти радиус этой окружности, достаточно найти радиус описанной окружности любого из треугольников АМС или КМС. Найдем радиус описанной окружности треугольника АМС по теореме синусов : МС/SinA = 2R. SinA=√(1-Cos²A) = √(1-0,6875²) ≈ 0,726. R=MC/2*SinA = √414/(2*0,726) ≈ 14 ед. Ответ: R=14 ед.
3 votes Thanks 2
Olmipt
А я ведь правильно двигалась при решении этой задачи))) Спасибо!)
nabludatel00
ну да, МС можно найти по т. косинусов из треуг. АВС, он буден некрасивый, как вы показали, корень из 414. Но вот доказательство того, что можно описать окружность , у меня до безобразия простое, без тригонометрии, как говорится, "на пальцах". :)
Радиус находить не буду , уважаемый Andr1806 нашел его, там все просто.
А вот свое док-во представлю в файле....
1 votes Thanks 2
nabludatel00
да, кстати, МВ можно найти не по т. косинусов, а быстрее , по суммам квадратов диагоналей параллелограммов, хотя это является следствием т. косинусов.
Answers & Comments
Verified answer
Треугольники АВС и КВМ подобны, так как <B у них общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны: ВМ/ВС=ВК/АВ=1/3.Тогда отрезок МК=24*(1/3)=8.По теореме косинусов в треугольнике АВС:
CosA=(AB²+AC²-BC²)/(2*АВ*AC) = (12²+24²-18²)/(2*12*24).
CosA=(720-324)/576=0,6875.
По теореме косинусов в треугольнике АМС:
МС²=АМ²+АС²-2*АМ*АС*CosA = 36+576-2*12*0,6875=414.
По теореме косинусов в треугольнике КМС:
CosK = (MK²+KC²-MC²)/(2*MK*KC) = (64+196-414)/224=-0,6875.
Мы видим, что косинусы углов А и К в четырехугольнике АМКС отличаются только знаком. Следовательно, они в сумме равны 180°, а это значит, что около четырехугольника АМКС можно описать окружность и притом ТОЛЬКО ОДНУ.
Что и требовалось доказать.
Значит, чтобы найти радиус этой окружности, достаточно найти радиус описанной окружности любого из треугольников АМС или КМС.
Найдем радиус описанной окружности треугольника АМС по теореме
синусов :
МС/SinA = 2R.
SinA=√(1-Cos²A) = √(1-0,6875²) ≈ 0,726.
R=MC/2*SinA = √414/(2*0,726) ≈ 14 ед.
Ответ: R=14 ед.
Verified answer
Радиус находить не буду , уважаемый Andr1806 нашел его, там все просто.
А вот свое док-во представлю в файле....