Verified answer

Ответ:

а) Условие ортогональности векторов:  [tex]\vec{a}\, \perp \, \vec{b}\ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \vec{a}\cdot \vec{b}=0[/tex]  .

[tex]\vec{a}\ (5;4;-7)\ \ \vec{b}\ (-1;3;1)\\\\\vec{a}\cdot \vec{b}=-5\cdot 1+4\cdot 3-7\cdot 1=-12+12=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{a}\, \perp \, \vec{b}[/tex]

[tex]b)\ \ \vec{a}\ (1;3p;2q)\ \ ,\ \ \vec{c}\ (-9p^2-4q^2;3p;2q)\ \ ,\ \ p,q=const\ \ ,\ \ p,q\ne 0\\\\\vec{a}\cdot \vec{c}=1\cdot (-9p^2-4q^2)+3p\cdot 3p+2q\cdot 2q=-9p^2-4q^2+9p^2+4q^2=0[/tex]

Вне зависимости от значений (ненулевых) постоянных р и q скалярное произведение векторов равно 0, а значит они перпендикулярны (ортогональны) для всех ненулевых значений  p и  q .