Verified answer

370). Окружность радиуса 4 см касается стороны и продолжений двух других сторон равностороннего треугольника. Найдите его площадь. 

      Обозначим треугольник ВАС. Вневписанная окружность с центром О касается  стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. ∆ ВАС - равносторонний. ⇒ 

∠ВАО=∠САО=60°:2=30°

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. ⇒ 

∆ АКО - прямоугольный с острым углом КАО=30° 

Катет КО противолежит ему и равен половине гипотенузы.⇒

АО=2 КО=8 см.

АМ=АО-МО=8-4=4 см. 

АМ - высота равностороннего ∆ ВАС. 

Формула площади правильного треугольника через высоту

 S=h²/√3

S=4²/√3=16/√3 см²

--------------

371).  Внутри данного треугольника АВС найдите такую точку Х, чтобы площади треугольников АВХ, ВСХ, АСХ были равны. 

Искомая точка - точка пересечения медиан треугольника. 

Каждая медиана треугольника, взятая по отдельности, делит его на два равновеликих, т.е. равной площади. 

Действительно, в ∆ АВС высота ∆ АВН и ∆ СВН  из вершины В - общая, основания АН=СН, следовательно, их площади равны. Аналогично АМ и СК делят треугольник на равновеликие части. 

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника. Взятые по два при каждой из сторон, эти треугольники образуют треугольники АВХ,  ВСХ и  АСХ равной площади.