Сначала приведем стандартное доказательство равносильности уравнений
f(f(x))=x и f(x)=x, если известно дополнительно, что f(x) - монотонно возрастающая функция (на самом деле доказательство проходит и в случае уравнений f(f(f(...(f(x))...)))=x и f(x)=x).
Если то то есть все решения второго решения являются решениями первого.
Если то В самом деле, если (или
), то (или соответственно
). В этом месте доказательства мы и использовали монотонное возрастание функции. Поэтому все решения первого уравнения являются решениями второго. Итак, равносильность уравнений доказана.
Переходим к конкретному уравнению. Преобразуем его:
Если рассмотреть функцию то уравнение может быть записано в виде f(f(x))=x, а поскольку функция f(x) монотонно возрастающая, уравнение равносильно уравнению f(x)=x, то есть Чтобы было проще в дальнейшем, докажем, что это уравнение не имеет отрицательных корней. В самом деле, если x∈[-1;0], то "побеждает" 24. Иными словами, левая часть отрицательна, корней на этом отрезке быть не может. Если x∈(-∞;-1), то и поэтому
Далее: угадываем корень x=2( искали естественно среди делителей свободного члена), делим многочлен на x-2 и получаем уравнение
которое не может иметь положительных корней в силу положительности всех коэффициентов, и не может иметь отрицательных корней, так как иначе исходное уравнение имело бы отрицательные корни, а мы доказали, что их нет.
Ответ: 2
4 votes Thanks 3
antonovm
Класс ! Немного по - другому решал : x^4 + 2x^3 + 3x^2 +6x +12 = (x^2 + x) ^2 + 2 (x^2 +3x +6) , первое слагаемое неотрицательно , а второе положительно , значит сумма всегда положительна
antonovm
и ещё уравнения f (f(x)) = x при возрастающей f равносильно f (x) = f ^(-1) (x) , а графики монотонных обратных функций могут иметь общие точки только на прямой y = x и получается то же уравнение f(x) = x , то есть можно уравнение привести к виду f (x) = f ^(-1) (x) и сослаться на симметрию графиков обратных функций
antonovm
монотонных и возрастающих ( исправляю неточность )
yugolovin
Да, Вы правы про f(x)=f^(-1)(x), но визуально это труднее заметить.
yugolovin
Про монотонно возрастающую функцию - я всю жизнь говорил так и думаю, что никогда это не приводило к неправильному пониманию))
Answers & Comments
Verified answer
Сначала приведем стандартное доказательство равносильности уравнений
f(f(x))=x и f(x)=x, если известно дополнительно, что f(x) - монотонно возрастающая функция (на самом деле доказательство проходит и в случае уравнений f(f(f(...(f(x))...)))=x и f(x)=x).
Если
то 
то есть все решения второго решения являются решениями первого.
Если
то 
В самом деле, если 
(или
Переходим к конкретному уравнению. Преобразуем его:
Если рассмотреть функцию![f(x)=\sqrt[5]{x^3+24},](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%5B5%5D%7Bx%5E3%2B24%7D%2C "f(x)=\sqrt[5]{x^3+24},")
то уравнение может быть записано в виде f(f(x))=x, а поскольку функция f(x) монотонно возрастающая, уравнение равносильно уравнению f(x)=x, то есть![\sqrt[5]{x^3+24}=x;\ x^3+24=x^5;\ x^5-x^3-24=0.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B5%5D%7Bx%5E3%2B24%7D%3Dx%3B%5C%20x%5E3%2B24%3Dx%5E5%3B%5C%20x%5E5-x%5E3-24%3D0. "\sqrt[5]{x^3+24}=x;\ x^3+24=x^5;\ x^5-x^3-24=0.")
Чтобы было проще в дальнейшем, докажем, что это уравнение не имеет отрицательных корней. В самом деле, если x∈[-1;0], то "побеждает" 24. Иными словами, левая часть отрицательна, корней на этом отрезке быть не может. Если x∈(-∞;-1), то 
и поэтому 
Далее: угадываем корень x=2( искали естественно среди делителей свободного члена), делим многочлен на x-2 и получаем уравнение
Ответ: 2