sinx*cosx=-2корня из 2 3)Запишем ОДЗ, что синус и косинус не равны нулю и перемн...

July 2022 1 8 Report

Помогите с тригонометрией. Здравствуйте, на просторах знания.ком случайно нашел вопрос, который очень заинтересовал меня. Вот он: "1/cosx+1/sinx=-2корня из 2. Не решается вообще. Нужна помощь". Я прорешал его сам и у меня получился ответ: x=pi/4+pi*n, Где n целое число, но в ответах оказался совсем другой ответ, да и решение(Фото прилагается). Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно cosx не равно нулю и sinx не равно нулю? Тогда получается что его ответ неверный. Вот собственно мое решение(Как по мне наиболее простое и лаконичное. Если я не прав пожалуйста укажите ошибки в моих размышлениях). Решение: 1) 1/sinx+1/cosx=-2корня из 2 2)cosx+sinx/sinx*cosx=-2корня из 2 3)Запишем ОДЗ, что синус и косинус не равны нулю и перемножим на них обе части 4)Получилось: sinx+cosx=-2корня из 2*sinx*cosx 5)Возведем обе части в квадрат: sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=8cos^2x*sin^2x 6) Сумма квадратов равна 1, а по формуле двойного угла синуса получаем: 1+2sinxcosx=2sin2x => 1+sin2x-2sin2x=0 В итоге sin2x=1 и ответ который я написал выше. Повторяю, если я не прав то распишите почему мое решение неверное. Спасибо.

Answers & Comments

mithridat

Пошаговое объяснение:

1) Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$ ?

$\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ не являются решениями:

$\sin x + \cos x = -2 \sqrt{2} \sin x \cos x$

Пусть $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ - невозможно

Пусть $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ - невозможно

2) Ваш ответ, к сожалению, неверен.

Например, возьмём $x = \dfrac{\pi}{4}$ :

$\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = 2 \sqrt{2} \neq -2 \sqrt{2}$

Во-первых, Вы возводите уравнение в квадрат, это неэквивалентное преобразование - так Вы легко можете найти дополнительные неверные решения. Например, если неверное равенство $-1 = 1$ возвести в квадрат, то оно станет верным $1 = 1$ . Поэтому при таком решении обязательно в самом конце подставить все найденные решения в исходное уравнение и отобрать из них верные.

Во-вторых, основная Ваша ошибка находится в пункте 6:

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 8 \cos^2 x \sin^2 x$

$1 + \sin 2x = 2 \sin^2 2x$ , а у вас справа просто $2 \sin 2x$ - без квадрата.

3) Приложенное решение, как минимум, тоже имеет опечатку:

$\cos \tfrac{4x - \pi}{8} = 0$

$\dfrac{4x - \pi}{8} = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ - там же $8$ в знаменателе упущена

В остальном, я считаю, что приложенное решение верное.

1 votes Thanks 1

cepiientin Спасибо за отклик! C 2sin^2x получается квадратное уравнение, в котором получается sin2x=1 и sin2x=-1/2 (Из ответы: x=pi/4+pi*n;x=-pi/12+pi*n;x=-5*pi/12+pi*n, где n целое число). Минус ошибка. Далее, исправлю мою ошибку при возведении в квадрат. Чтобы все было верно нужно, чтобы cosx>=sinx. Значит нас устроят только значения x=pi/4+pi*n и x=-5*pi/12+pi*n. А это решение верное?

cepiientin Блин pi/4 же не подходит... Я же вроде все ошибки исправил

mithridat А откуда взялось условие cos x >= sin x - что если оно выполняется, то тогда все хорошо?

mithridat Я бы на Вашем месте просто нарисовал все найденные решения на тригонометрической окружности и откинул бы лишние? Мне кажется, это нетрудно сделать - у нас есть уравнение sin x + cos x = -2 √2 sin x cos x. При возведении в квадрат неверные корни будут такими, что модули обеих частей равны, а знаки разные. Вот такие корни, что левые и правые части будут иметь разные знаки и нужно отбросить. Определить это из тригонометрического круга видится мне вполне посильной задачей

cepiientin Кажется я перепутал сумму с разностью, в которой используется условие cosx>=sin x

cepiientin Попробую сделать как вы сказали

Answers & Comments

21 ne soshlos poluchaetsya agt1 hod moih reshenij 1 a0 ne podhodit 2agt

pomogite dokazat chto resheniem sin x a pri a 1 reshenij net

4 ch i povernuv obratno vstretila plot na rasstoyanii 9 km ot poselka kakovy sk

najdite vse znacheniya k pri kotoryh odin koren uravneniya x2 k1x k2 k 80

pri kakih znacheniyah parametra a neravenstvo ax2 4x3a1gt0 vypolnyaetsya pri vs

pri kakih znacheniyah a neravenstvo ax12 gt x2 3x 3 vypolneno hotya by p

pri kakih a vse resheniya neravenstva x 42a menshe 0 yavlyayutsya resheniyami neraven

pomogite reshit parametr delal vse po pravilu proveril vse sluchaia 5 bolshe n

pri kakih a uravneniya 4ax2 5x a0 i 3x2 2ax 5 0 imeyut hotya by odin obshij

pomogite reshit parametr zhelatelno s podrobnym resheniem

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social