Старик Хоттабыч придумал набор из n различных натуральных чисел таких, что все, ...

July 2022 1 76 Report

Старик Хоттабыч придумал набор из n различных натуральных чисел таких, что все, кроме одного числа, делятся на 2, все, кроме двух чисел, делятся на 3, . . . , все, кроме n−1 чисел, делятся на n. Для какого наибольшего значения n это возможно?

Answers & Comments

Olga8128

Решение:

Представим, что получилось собрать такой набор из $n$ чисел, причем $n$ больше или равно $6$ .

По условию, ровно $n-1$ число делится на $2$ ("все, кроме одного числа, делятся на $2$ "), и ровно $n-2$ чисел делятся на $3$ ("все, кроме двух чисел, делятся на $3$ "). Это означает, что на $6$ могут делиться максимум $n-2$ числа (когда все числа, делящиеся на $3$ также делятся на $2$ ), а минимум - $n-3$ числа (когда в наборе есть одно число, делящееся на $3$ , но не делящееся на $2$ ).

Но нам сказано, что на $6$ должны делиться ровно $n-5$ чисел, а остальные $5$ чисел на $6$ не делятся. Но выходит, что на $6$ не делятся либо $2$ числа, либо $3$ числа (но не $5$ чисел).