Натуральные числа a и b ([tex]a\leq b[/tex]) таковы, что для любых действительных чисел x и y, удовлетворяющих неравенству [tex]$a\leq x\leq y\leq b$[/tex], выполнено неравенство [tex]$a\leq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\leq b$[/tex]. Найдите все такие пары чисел a и b.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Рассмотрим три случая:
1) a > 2. Тогда пусть x = y = a:
(x/y + y/x) = (a/a + a/a) = 2 < a => противоречие.
2) a = 1. Тогда пусть x = a, y = b:
(x/y + y/x) = 1/b + b > b => противоречие.
3) a = 2. Докажем, что в таком случае b может принимать любое значение (разумеется, кроме 1):
x/y + y/x = (x² + y²)/(xy)
x² + y² ≥ 2xy => (x² + y²)/(xy) ≥ 2 = a (первое условие выполнено)
(x² + y²)/(xy) ≤ (x² + y²)/(2y) ≤ (y² + y²)/(2y) = y ≤ b (второе условие выполнено).
Ответ: a = 2; b ≠ 1.