Ответ:

[tex]xy'-\dfrac{y}{x+1}=x\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y'-\dfrac{y}{x(x+1)}=1[/tex]

Имеем линейное диффер. ур-е 1 порядка .Делаем замену:

[tex]y=uv\ ,\ \ y'=u'v \uv'\\\\u'v+uv'-\dfrac{uv}{x(x+1)}=1\ \ \ \to \ \ \ u'v+u\cdot \Big(v'-\dfrac{v}{x(x+1)}\Big)=1\ \ \ (*)[/tex]    

а) Найдём такую функцию v=v(x) , чтобы выделенная скобка была

равна 0 .  

[tex]\displaystyle v'-\dfrac{v}{x(x+1)}=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v}{x(x+1)}=0\ \ \Rightarrow \ \ \int\frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x(x+1)}\ ,\\\\\\\int\frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x^2+x} \ \ ,\ \ \int\frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}\ \ ,\ \int\frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}\\\\\\ln|\, v\, |=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}\cdot ln\left |\, \frac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\, \right|+ln|C_1|[/tex]

[tex]\displaystyle ln|\, v\, |=ln\left |\, \frac{x}{x+1}\, \right|+ln|C_1|\ \ ,\ \ \ v=\frac{C_1x}{x+1}[/tex]  

Так как функция  v(x) нам нужна одна, а не бесчисленное их множество, то можно выбрать удобную константу, положим С₁=1 и тогда функция  v(x) будет иметь вид:    [tex]\boxed{\ v=\dfrac{x}{x+1}\ }[/tex]  .

б)  Теперь подставим функцию  v(x) в уравнение  [tex](*)[/tex]  и найдём

функцию  u(x) .

[tex]\displaystyle u'v=1\ \ \to \ \ \frac{du}{dx}\cdot \frac{x}{x+1}=1\ \ ,\ \ \ \int du=\int \frac{(x+1)\, dx}{x}\ \ ,[/tex]

[tex]\displaystyle \int du=\int \Big(\frac{x}{x}+\frac{1}{x}\Big)\, dx\ \ ,\ \ u=\int \Big(1+\frac{1}{x}\Big)\, dx\ \ ,\\\\u=\int dx+\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ \ \boxed{\ u=x+ln|\, x\, |+C\ }[/tex]

в)  Теперь запишем функцию  y=uv.

      [tex]\boxed{\ y=\dfrac{x}{x+1}\cdot \Big(x+ln|\, x\, |+C\Big)\ }[/tex]