[tex]y=4\cos^32x+\sin^22x=4\cos^32x+1-\cos^22x=4\cos^32x-\cos^22x+1[/tex]

[tex]y'=4\cdot 3\cos^22x\left ( \cos 2x \right )'-2\cos2x\left ( \cos 2x \right )=\\=4\cos 2x\sin 2x-24\cos^22x\sin 2x\\\\y'=0\Rightarrow 4\cos 2x\sin 2x-24\cos^22x\sin 2x=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \cos 2x\sin 2x\left(4-24\,\cos2x\right)=0\\\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}\\\sin 2x=0\Rightarrow 2x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}\\[/tex][tex]-24\cos 2x=4\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{6}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\arccos \frac{1}{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi}{4} \right )=1, \; x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi}{2} \right )=-4[/tex]

Последние корни можно не проверять, так как [tex]\cos (\arccos a)=a[/tex], где [tex]a[/tex] - число, то после подстановки понятно, что будет положительное число. Нам не важно какое, главное, чтобы оно было положительным, так как у нас есть -4 - наименьшее значение. А значит, так как функция периодичная с периодом [tex]\pi[/tex], то верхняя граница - это модуль нижней, то есть 4

Область значения функции [tex]y\in [-4,4][/tex]