Найдите все полиномы Р(x), для которых [tex]P^2(x)-2=2P(2x^2-1)[/tex]. Created by igorShap. matematika-ru

Преобразуем: . Сделаем замену: (полином имеет значение в любой точке), тогда: . Отсюда: , поскольку . Пусть обозначает примененную раз композицию функции с самой собой. Аналогичным образом связана функция с функцией . Продолжая вышеуказанные подстановки, приходим к равенству . Теперь: , поскольку (здесь ). Но , значит, , но старший коэффициент положителен, откуда . Пусть старший коэффициент равен . Предположим, что . Посчитаем старший коэффициент слева: , где — степень многочлена . Старший коэффициент справа равен старшему коэффициенту и равен . Приравниваем: (поскольку ). В частности, . Заметим, что старший коэффициент равен (в этом несложно убедиться). Тогда , но такого натурального нет. Стало быть, , то есть константа. Пусть : .

tex]...

igorShap @igorShap

July 2022 1 75 Report

Найдите все полиномы Р(x), для которых [tex]P^2(x)-2=2P(2x^2-1)[/tex]

Answers & Comments

Guerrino

Преобразуем: $P^2(x)=2P(2x^2-1)+2\Leftrightarrow \frac{P^2(x)}{2}=P(2x^2-1)+1$ . Сделаем замену: $x\to \frac{P(x)}{2}$ (полином имеет значение в любой точке), тогда: $\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}=P(\frac{P^2(x)}{2}-1)+1=P(P(2x^2-1))+1$ . Отсюда: $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2= P(P(2x^2-1))+1$ , поскольку $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2=\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}$ . Пусть $f_{k}$ обозначает примененную $k$ раз композицию функции $\frac{P(x)}{2}$ с самой собой. Аналогичным образом связана функция $g_{k}$ с функцией $P(2x^2-1)$ . Продолжая вышеуказанные подстановки, приходим к равенству $2f_{k}^2=g_{k}+1,\; \forall k\in\mathbb{N}_{0}$ . Теперь: $g(2f_{k}^2-1)=2f^2(2f_{k}^2-1)-1$ , поскольку $g(x)=2f(x)-1$ (здесь $f,g=f_{0},g_{0}$ ). Но $g(2f_{k}^2-1)=g(g_{k})=g_{k+1}=2f_{k+1}^2-1$ , значит, $2f_{k+1}^2-1=2f^2(2f_{k}^2-1)-1 \Leftrightarrow f_{k+1}=\pm f(2f_{k}^2-1)$ , но старший коэффициент $f_{k}$ положителен, откуда $f_{k+1}=f(2f^2_{k}-1)$ . Пусть старший коэффициент $f_{k}$ равен $a_{k}$ . Предположим, что $a_{0}\neq 0$ . Посчитаем старший коэффициент слева: $f_{k+1}=f(f_{k})\Rightarrow a_{k+1}=a_{0}a_{k}^n$ , где $n$ — степень многочлена $f$ . Старший коэффициент справа равен старшему коэффициенту $f(2f_{k}^2)$ и равен $a_{0}\times2^n\times a_{k}^{2n}$ . Приравниваем: $2^na_{0}a_{k}^{2n}=a_{0}a_{k}^n \Rightarrow (2a_{k})^n=1 \Leftrightarrow a_{k}=1/2$ (поскольку $a_{0}\neq 0$ ). В частности, $a_{0}=1/2$ .

Заметим, что старший коэффициент $P(x)$ равен $2^{n+1}$ (в этом несложно убедиться). Тогда $a_{0}=2^{n+1}/2=2^{n}=1/2$ , но такого натурального $n$ нет. Стало быть, $a_{0}=0$ , то есть $P(x)$ константа. Пусть $P(x)=c$ : $c^2-2=2c \Leftrightarrow c= 1\pm\sqrt{3}$ .

1 votes Thanks 0

Guerrino в правильности не уверен, писал ночью

igorShap g_1 ведь будет P(2P^2(2x^2-1)-1), по идее, а не P(P(2x^2-1)). Но на ход решения это не влияет, насколько я понимаю. Небольшая опечатка, g(x)=2f^2(x)-1 должно быть. А почему старший коэффициент f_k положителен? Старшие коэффициенты слева и справа должны быть в 2 раза меньше, но при приравнивании 1/2, конечно, сократится и не повлияют на ответ.

igorShap А, понял про положительность коэффициента, старший коэффициент Р(х) же 2^(n+1)>0, если n натуральное, и 0, если n=0. А f(x)=P(x)/2

igorShap Выглядит логично, проблем я не вижу, честно говоря. Спасибо!

igorShap Только про коэффициент - n=0 в принципе отдельный случай, неправильно выразился

Guerrino если подставить p(x) /2, то получится p(p(p^2/2-1))+1, но по первоначальному уравнению p^2/2-1=p(2x^2-1)

Answers & Comments

tex najdite vse takie pary chisel a i b

tex polnye kvadraty nekotoryh naturalnyh chisel

tex najti vse znacheniya a pri kazhdom iz kotoryh uravnenie imeet dva kornya

dokazhite chto dlya kazhdogo naturalnogo chisla n najdetsya chislo v zapisi kotorogo

____________________________________________...

__________________________________________...

tex]...

_______________________________________...

sushestvuet li treugolnik s uglami x y z takoj chto tgxcosysinz

na stole v ryad lezhat 100 vneshne odinakovyh monet sredi nih rovno 26 falshivyh

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social