Объяснение:

f(x)=3x²+1

• ∆x→0,
• ∆y=y(x+∆x) - y(x)=

=3(x+∆x)² + 1 - (3x² +1 )=

=3x² + 6x∆x + 3∆x² +1 - 3x² - 1=

=6x∆x + 3∆x²

• y'=∆y/∆x =

=(6x∆x+3∆x²) / ∆x=

=6x + 3∆x =

=[так как ∆х→0, то и 3∆х→0]=

=6х + 0=

=6х

f(x)=1/x

• ∆x→0,
• ∆y=y(x+∆x)-y(x)=

=1/(x+∆x) - 1/x = (x - (x+∆x)) / (x+∆x)*x =

= (x - x - ∆x)) / (x+∆x)*x =

= (-∆x) / (x+∆x)*x

• y'=∆y/∆x =

=((-∆x) / (x+∆x)*x ) / ∆x=

= - 1 / (x+∆x)*x =

=[так как ∆х→0, то х+∆х→х]=

= -1 / х*х=

= -1/х²

f(x)=cos(x)

y'=-sin(x) (смотри прикрепленное изображение)