Verified answer

Ответ:

Примечание:

Функцию [tex]f[/tex] является периодической если  [tex]\exists \ T \neq 0[/tex], что [tex]\forall x \in D(f)[/tex] верно [tex]f(x - T) = f(x) = f(x + T)[/tex] и число [tex]T[/tex] называют периодом функции [tex]f[/tex].

Объяснение:

[tex]\boldsymbol{ a_{1} = 1,a_{2} = 2 }; a_{n + 2} = \dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}}[/tex]

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]a_{1 + 2} = \dfrac{a_{1 + 1}}{a_{1}}[/tex]

[tex]\boxed{\boldsymbol{ a_{3}} = \dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \dfrac{2}{1} \boldsymbol{ = 2}}[/tex]

[tex]n = 2;[/tex]

[tex]a_{2 + 2} = \dfrac{a_{2 + 1}}{a_{2}}[/tex]

[tex]\boxed {\boldsymbol{ a_{4}} = \dfrac{a_{3}}{a_{2}} = \dfrac{2}{2} =\boldsymbol{ 1}}[/tex]

[tex]n = 3;[/tex]

[tex]a_{3 + 2} = \dfrac{a_{3 + 1}}{a_{3}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{5}} = \dfrac{a_{4}}{a_{3}} = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{ = 0,5}}[/tex]

[tex]n = 4;[/tex]

[tex]a_{4 + 2} = \dfrac{a_{4 + 1}}{a_{4}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{6}} = \dfrac{a_{5}}{a_{4}} = \dfrac{0,5}{1} \boldsymbol{ = 0,5}}[/tex]

[tex]n = 5;[/tex]

[tex]a_{5 + 2} = \dfrac{a_{5 + 1}}{a_{5}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{7}} = \dfrac{a_{6}}{a_{5}} = \dfrac{0,5}{0,5} \boldsymbol{ = 1}}[/tex]

[tex]n = 6;[/tex]

[tex]a_{6 + 2} = \dfrac{a_{6+ 1}}{a_{6}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{8}} = \dfrac{a_{7}}{a_{6}} = \dfrac{1}{0,5} \boldsymbol{ = 2}}[/tex]

[tex]n = 7;[/tex]

[tex]a_{7 + 2} = \dfrac{a_{7+ 1}}{a_{7}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{9}} = \dfrac{a_{8}}{a_{7}} = \dfrac{2}{1} \boldsymbol{ = 2}}[/tex]

[tex]n = 8;[/tex]

[tex]a_{8 + 2} = \dfrac{a_{8+ 1}}{a_{8}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{10}} = \dfrac{a_{9}}{a_{8}} = \dfrac{2}{2} \boldsymbol{ = 1}}[/tex]

[tex]n = 9;[/tex]

[tex]a_{9 + 2} = \dfrac{a_{9+ 1}}{a_{9}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{11}} = \dfrac{a_{10}}{a_{9}} = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{ = 0,5}}[/tex]

[tex]n = 10;[/tex]

[tex]a_{10 + 2} = \dfrac{a_{10+ 1}}{a_{10}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{12}} = \dfrac{a_{11}}{a_{10}} = \dfrac{0,5}{1} \boldsymbol{ = 0,5}}[/tex]

[tex]n = 11;[/tex]

[tex]a_{11 + 2} = \dfrac{a_{11+ 1}}{a_{11}}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{a_{13}} = \dfrac{a_{12}}{a_{11}} = \dfrac{0,5}{0,5} \boldsymbol{ = 1}}[/tex]

Введем функцию [tex]f(n)[/tex], такую, что [tex]D(f(n)) = \mathbb N[/tex] и следующими значениями:

[tex]f(1) = 1[/tex]

[tex]f(2) = 2[/tex]

[tex]f(3) = 2[/tex]

[tex]f(4) = 1[/tex]

[tex]f(5) = 0,5[/tex]

[tex]f(6) = 0,5[/tex]

[tex]f(7) = 1[/tex]

[tex]f(8) = 2[/tex]

[tex]f(9) = 2[/tex]

[tex]f(10) = 1[/tex]

[tex]f(11) = 0,5[/tex]

[tex]f(12) = 0,5[/tex]

[tex]f(13) = 1[/tex]

Так как [tex]f(1) = f(7) = f(13)[/tex] и значения для этих точек следуют друг за другом, то предположим, что [tex]T = 7 - 1 = 13 - 7 = 6[/tex].

Верно, что:

[tex]f(7 - T) = f(7) = f(7 + T)[/tex]

[tex]f(1) = f(7) = f(13) = 1[/tex] - верно

Функция [tex]f(n)[/tex] и последовательность [tex]a_{n}[/tex] равносильны по определению числовой последоватлеьности.

Докажем методом математической индукции, что число [tex]T = 6[/tex] является периодом функции [tex]f(n)[/tex], то есть

[tex]\boxed{f(n - T) = f(n) = f(n + T)}[/tex] при [tex]n \geq 7[/tex]

[tex]n = 7;[/tex]

[tex]f(7 - T) = f(7) = f(7 + T)[/tex]

[tex]f(1) = f(7) = f(13) = 1[/tex] - верно

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{f(k - T) = f(k) = f(k + T)}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1[/tex]

[tex]f(k + 1 - T) = f(k) = f(k + 1 + T)[/tex]

-----------------

.............................

--------------------

Таким образом, так как [tex]T = 6[/tex] период последовательности, то

[tex]\boldsymbol{ a_{101}} = a_{101 - 6 \cdot[101 : 6]} = a_{101 - 96} = a_{5} = \boldsymbol{ 0,5}[/tex].