Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ V = \dfrac{88}{105}}}[/tex] кубических единиц

Примечание:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy }}[/tex] - объем цилиндрического тела с образующими, параллельными оси [tex]OZ[/tex] , ограниченное снизу областью [tex]G[/tex], а сверху поверхностью [tex]z = f(x,y) \geq 0[/tex]. Данное определение показывает геометрический смысл двойного интеграла.

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex]  снизу и сверху соответственно.

По теореме:

Если функция [tex]y = f(x)[/tex] непрерывна на [tex]\mathbb R[/tex] и является четной, то

[tex]\boxed{ \displaystyle \int\limits^{a}_{-a} {f(x)} \, dx =2 \int\limits^a_0 {f(x)} \, dx }[/tex] при [tex]a > 0[/tex].

Рассмотрим функцию [tex]\displaystyle f(x) = \bigg( x^{2} - x^{4} - \frac{ x^{6} }{3} + \frac{1}{3} \bigg)[/tex].

[tex]\displaystyle f(-x) = \bigg( (-x)^{2} - (-x)^{4} - \frac{ (-x)^{6} }{3} + \frac{1}{3} \bigg) = \bigg( x^{2} - x^{4} - \frac{ x^{6} }{3} + \frac{1}{3} \bigg) = f(x)[/tex]

Так как [tex]f(-x) = f(x)[/tex], то по определению функция является четной.

Объяснение:

Область [tex]T \ (XYZ)[/tex]  ограниченна поверхностями :

[tex]z = x^{2} + y^{2}[/tex]

[tex]z = 0[/tex]

[tex]y = x^{2}[/tex]

[tex]y = 1[/tex]

Снизу область ограниченна функцией [tex]z = 0[/tex], а сверху функцией [tex]z = x^{2} + y^{2}[/tex]

Область [tex]G \ (XY):[/tex]

Пересечения плоскости [tex]z = 0[/tex] и кривой [tex]y = x^{2}[/tex] это кривая [tex]\boxed{y = x^{2}}[/tex] в плоскости [tex]XY[/tex].

Пересечения плоскости [tex]z = 0[/tex] и кривой [tex]y = 1[/tex] это кривая [tex]\boxed{y = 1}[/tex] в плоскости [tex]XY[/tex].

Найдем абсциссы пересечения кривой [tex]y = x^{2}[/tex] и [tex]y = 1[/tex]:

[tex]x^{2} = 1 \Longrightarrow x_{1,2} = \pm 1[/tex]

Границы интегрирования: от -1 до 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle V= \iint\limits_{G} (x^{2} + y^{2}) \, dxdy = \int\limits^{1}_{-1} \, dx \int\limits^{1}_{x^{2}} {(x^{2} + y^{2})} \, dy = \int\limits^{1}_{-1} \bigg( \bigg(yx^{2} + \frac{y^{3}}{3} \bigg)\bigg |^{1}_{x^{2}} \bigg) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{1}_{-1} \bigg( \bigg( 1 \cdot x^{2} + \frac{1^{3}}{3} \bigg) - \bigg( x^{2} \cdot x^{2} + \frac{(x^{2} )^{3}}{3} \bigg) \bigg) \, dx = \int\limits^{1}_{-1} \bigg( \bigg( x^{2} + \frac{1}{3} \bigg) - \bigg( x^{4} + \frac{ x^{6} }{3} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{1}_{-1} \bigg( x^{2} - x^{4} - \frac{ x^{6} }{3} + \frac{1}{3} \bigg) \, dx = 2\int\limits^{1}_{0} \bigg( x^{2} - x^{4} - \frac{ x^{6} }{3} + \frac{1}{3} \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = 2 \Bigg( \bigg( \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{21} + \frac{x}{3} \bigg) \bigg |^{1}_{0} \Bigg) = 2 \Bigg( \bigg( \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{5}}{5} - \frac{1^{7}}{21} + \frac{1}{3} \bigg)- \bigg( \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{5}}{5} - \frac{0^{7}}{21} + \frac{0}{3}\bigg) \Bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = 2 \bigg( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21} + \frac{1}{3} \bigg) = 2 \bigg( \frac{35 - 21 - 5 + 35}{105} \bigg) = 2 \bigg( \frac{70 - 26}{105} \bigg) =\frac{2 \cdot 44}{105} = \frac{88}{105}[/tex]

кубических единиц.