Ответ:
а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} }}[/tex]
б) Не существует
в) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}}}[/tex]
Примечание:
Теорию к задачам смотрите в прикрепленных файлах!
Объяснение:
27
а)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 0 - (-6) = 6[/tex]
Так как [tex]\text{det} \ A \neq 0[/tex], то матрица [tex]A[/tex] имеет обратную матрицу [tex]A^{-1}[/tex].
Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]
[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1}|0| =0[/tex]
[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2}|-3| = - |-3| = 3[/tex]
[tex]A_{21} = (-1)^{ 2 + 1 }|2| = - |2| = -2[/tex]
[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2}|1| = 1[/tex]
[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex] - союзная матрица
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица
б)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{vmatrix}c_{1} + c_{2} = \begin{vmatrix} 1 -3 & - 3 & 4 \\ -3 + 5 & 5 & 6 \\ -2 + 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix}r_{2} + r_{1} =[/tex]
[tex]= \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 + (-2) & 5 + (-3) & 6 + 4 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\0 & 2 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} =[/tex]
Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:
[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} =-2 \cdot A_{11} + 0\cdot A_{21} +0 \cdot A_{31} = A_{21} = -2 A_{11}=[/tex]
[tex]=-2\cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 10 \\ 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 10 = 20 - 20 = 0[/tex]
Так как [tex]\text{det} \ A = 0[/tex], то обратной матрицы не существует.
в)
[tex]\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} r_{1} + r_{2}; r_{3} + r_{2}; = \begin{vmatrix} 3 + 2 & 1 - 1 & 1 - 2\\ 2 & -1 & -2 \\ 3 + 2 & 1 - 1 & -1 -2 \end{vmatrix} =[/tex]
[tex]= \begin{vmatrix} 5& 0& -1\\ 2 & -1 & -2 \\ 5& 0& -3 \end{vmatrix} =[/tex]
Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:
[tex]= a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} = 0 \cdot A_{12} + (-1) \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{32} = - A_{22}=[/tex]
[tex]= -1 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -(5 \cdot (-3) - 5 \cdot (-1)) = -( -15 + 5) = 10[/tex]
[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot(-2) = 1 + 2 = 3[/tex]
[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) = -(-2 + 6) =-4[/tex]
[tex]A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5[/tex]
[tex]A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -(-1 - 1) = 2[/tex]
[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -3 - 3 = -6[/tex]
[tex]A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(3 - 3) = 0[/tex]
[tex]A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \cdot 1 -1 \cdot (-1) = -2 + 1 =-1[/tex]
[tex]A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot (-2) - 2\cdot 1) = -(-6 - 2) = 8[/tex]
[tex]A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2 = -5[/tex]
[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}[/tex]- союзная матрица
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} }}[/tex]
б) Не существует
в) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}}}[/tex]
Примечание:
Теорию к задачам смотрите в прикрепленных файлах!
Объяснение:
27
а)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 0 - (-6) = 6[/tex]
Так как [tex]\text{det} \ A \neq 0[/tex], то матрица [tex]A[/tex] имеет обратную матрицу [tex]A^{-1}[/tex].
Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]
[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1}|0| =0[/tex]
[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2}|-3| = - |-3| = 3[/tex]
[tex]A_{21} = (-1)^{ 2 + 1 }|2| = - |2| = -2[/tex]
[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2}|1| = 1[/tex]
[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex] - союзная матрица
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица
б)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{vmatrix}c_{1} + c_{2} = \begin{vmatrix} 1 -3 & - 3 & 4 \\ -3 + 5 & 5 & 6 \\ -2 + 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix}r_{2} + r_{1} =[/tex]
[tex]= \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 + (-2) & 5 + (-3) & 6 + 4 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\0 & 2 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} =[/tex]
Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:
[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} =-2 \cdot A_{11} + 0\cdot A_{21} +0 \cdot A_{31} = A_{21} = -2 A_{11}=[/tex]
[tex]=-2\cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 10 \\ 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 10 = 20 - 20 = 0[/tex]
Так как [tex]\text{det} \ A = 0[/tex], то обратной матрицы не существует.
в)
[tex]\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} r_{1} + r_{2}; r_{3} + r_{2}; = \begin{vmatrix} 3 + 2 & 1 - 1 & 1 - 2\\ 2 & -1 & -2 \\ 3 + 2 & 1 - 1 & -1 -2 \end{vmatrix} =[/tex]
[tex]= \begin{vmatrix} 5& 0& -1\\ 2 & -1 & -2 \\ 5& 0& -3 \end{vmatrix} =[/tex]
Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:
[tex]= a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} = 0 \cdot A_{12} + (-1) \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{32} = - A_{22}=[/tex]
[tex]= -1 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -(5 \cdot (-3) - 5 \cdot (-1)) = -( -15 + 5) = 10[/tex]
Так как [tex]\text{det} \ A \neq 0[/tex], то матрица [tex]A[/tex] имеет обратную матрицу [tex]A^{-1}[/tex].
Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]
[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot(-2) = 1 + 2 = 3[/tex]
[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) = -(-2 + 6) =-4[/tex]
[tex]A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5[/tex]
[tex]A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -(-1 - 1) = 2[/tex]
[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -3 - 3 = -6[/tex]
[tex]A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(3 - 3) = 0[/tex]
[tex]A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \cdot 1 -1 \cdot (-1) = -2 + 1 =-1[/tex]
[tex]A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot (-2) - 2\cdot 1) = -(-6 - 2) = 8[/tex]
[tex]A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2 = -5[/tex]
[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}[/tex]- союзная матрица
[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица