Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed { \boldsymbol{ X = -\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 61 & 10 & -36 \\28 & -5 &0 \\ 75& 30 & -63\end{pmatrix} }}[/tex]

Примечание:

Дополнительную информацию по решению смотрите в вордовском файле!

Объяснение:

[tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 9 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]XA - 2B = E[/tex]

[tex]XA = 2B + E \ | \cdot A^{-1}[/tex]

[tex]XA \cdot A^{-1} = (2B + E)A^{-1}[/tex]

[tex]XE = (2B + E)A^{-1}[/tex]

[tex]X = (2B + E)A^{-1}[/tex]

Найдем обратную матрицу [tex]A^{-1}:[/tex]

Разложим матрицу [tex]A[/tex] по 1 строке:

[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 9 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =[/tex]

[tex]= 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{13} = A_{11} = (-1)^{1 + 1} \cdot M_{11} = M_{11} = \begin{vmatrix} 9 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= (9 \cdot (-1)) - (0 \cdot 4) = -9 - 0 = -9 \Longrightarrow \text{det} \ A \neq 0[/tex].

Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]

[tex]A_{11} = -9[/tex]

[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -((2 \cdot (-1)) - (0 \cdot 3))= -(-2 - 0)=2[/tex]

[tex]A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = ((2 \cdot 4) - (9 \cdot 3)) = (8 - 27) = -19[/tex]

[tex]A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -((0 \cdot (-1)) - (4 \cdot 0)) = -(0 - 0) = 0[/tex]

[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = ((1 \cdot (-1)) - (0 \cdot 3)) = (-1 - 0) = -1[/tex]

[tex]A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -((1 \cdot4) - (3 \cdot 0)) = -(4 - 0) = -4[/tex]

[tex]A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 9 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 9 & 0 \end{vmatrix} = ((0 \cdot 0) - (0 \cdot 9)) = (0 - 0) = 0[/tex]

[tex]A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -((1 \cdot 0) - (2 \cdot 0)) = -(0 - 0) = 0[/tex]

[tex]A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} = ((1 \cdot 9) - (0 \cdot 2)) = ( 9 - 0) = 9[/tex]

Запишем транспонированную союзную матрицу [tex]A^{*}:[/tex]

[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -19 & -4 & 9 \end{pmatrix}[/tex]

Обратная матрица [tex]A^{-1}:[/tex]

[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{ \text{det} \ A} \cdot A^{*} = -\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -19 & -4 & 9 \end{pmatrix}[/tex]

[tex](2B + E):[/tex]

[tex](2B + E) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & -2 \cdot 2 \\ -1 \cdot 2 & 2 \cdot 2 & 0 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 & -1\cdot 2 & -4\cdot 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 \\ -2 & 4 & 0 \\ 6 & - 2 & -8 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 + 1& 6 + 0 & -4 + 0 \\ -2 + 0 & 4 + 1 & 0 + 0 \\ 6 + 0 & - 2 + 0 & -8 +1 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 3 & 6 & -4 \\ -2 & 5 & 0 \\ 6 & - 2 & -7 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]X = (2B + E)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -4 \\ -2 & 5 & 0 \\ 6 & - 2 & -7 \end{pmatrix} \cdot \bigg( -\dfrac{1}{9} \bigg)\begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -19 & -4 & 9 \end{pmatrix} =[/tex]

Распишем отдельно умножение [tex]\begin{pmatrix} 3 & 6 & -4 \\ -2 & 5 & 0 \\ 6 & - 2 & -7 \end{pmatrix}[/tex] на [tex]\begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -19 & -4 & 9 \end{pmatrix} :[/tex]

[tex]\begin{pmatrix} 3 \cdot (-9) + 6 \cdot 2 + (-4) \cdot (-19) & 3 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) + (-4) \cdot (-4) & 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + (-4) \cdot 9 \\ -2 \cdot (-9) + 5 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) & -2 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) + 0 \cdot (-4) & -2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 9 \\ 6 \cdot (-9) + (-2) \cdot 2 + (-7) \cdot (-9) & 6 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) + (-7) \cdot (-4) & 6 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + (-7) \cdot 9 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} -27 + 12 + 76 & 0 - 6 + 16 & 0 + 0 -36 \\ 18 + 10 + 0 & 0 - 5 + 0 & 0 + 0 + 0 \\ -54 - 4 + 133 & 0 + 2 + 28 & 0 + 0 -63\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 61 & 10 & -36 \\28 & -5 &0 \\ 75& 30 & -63\end{pmatrix}[/tex]

Таким образом:

[tex]X = (2B + E)A^{-1} = -\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 61 & 10 & -36 \\28 & -5 &0 \\ 75& 30 & -63\end{pmatrix}[/tex]