Ответ:

[tex]2\frac{2}{3}[/tex]

Пошаговое объяснение:

По определению, записываем несобственный интеграл через односторонний предел и определенный интеграл —

[tex]\int\limits^2_1 {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx \\ \\ \lim_{a \to 1^+} (\int\limits^2_a {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx )\\ \\[/tex]

Вычисляем определенный интеграл —

1. Чтобы вычислить определенный интеграл, вначале нужно найти неопределенный — [tex]\int\limits {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx[/tex]
2. Преобразовываем интеграл, используя подстановку t = x - 1 — [tex]\int\limits {\frac{t+1}{\sqrt{t} } } \, dt[/tex]
3. Используя [tex]\sqrt[n]{a^{m} } =a^{\frac{m}{n} }[/tex], преобразовываем выражение — [tex]\int\limits {\frac{t+1}{t^{\frac{1}{2} } } } \, d t[/tex]
4. Разделим дробь на 2 дроби — [tex]\int\limits {\frac{t}{t^{\frac{1}{2} } } +\frac{1}{t^{\frac{1}{2} } } } \, dt[/tex]
5. Упрощаем выражение — [tex]\int\limits {t^{\frac{1}{2} }+\frac{1}{t^{\frac{1}{2} } } } \, dt[/tex]
6. Используя свойство интегралов ∫ f (x) ± g (x) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx — [tex]\int\limits {t^{\frac{1}{2} } } \, dt+ \int\limits {\frac{1}{t^{\frac{1}{2} } } } \, dt[/tex]
7. Используя [tex]\int\limits {x^{n} } \, dx=\frac{x^{n+1} }{n+1} ,n\neq -1[/tex] находим интеграл — [tex]\frac{2\sqrt{t} \times|t|}{3} + \int\limits {\frac{1}{t^{\frac{1}{2} } } } \, dt[/tex]
8. Используя [tex]\int\limits {\frac{1}{x^{n} } } \, dx =-\frac{1}{(n-1)\times x^{n-1} } ,n\neq 1[/tex] находим интеграл — [tex]\frac{2\sqrt{t} \times |t|}{3} +2\sqrt{t}[/tex]
9. Производим обратную замену t = x - 1 — [tex]\frac{2\sqrt{x-1} \times|x-1|}{3} +2\sqrt{x-1}[/tex]
10. Вычисляем выражение — [tex]\frac{2\sqrt{2-1} \times|2-1|}{3} +2\sqrt{2-1}-(\frac{2\sqrt{a-1} \times|a-1|}{3} +2\sqrt{a-1})[/tex]
11. Упрощаем выражение — [tex]\frac{8-2\sqrt{a-1} \times|a-1|}{3} -2\sqrt{a-1}[/tex]
12. Подставляем значение интеграла обратно — [tex]\lim_{a \to 1^{+} } (\frac{8-2\sqrt{a-1} \times|a-1|}{3} -2\sqrt{a-1})[/tex]

Вычисляем предел —

1. а - 1 положителен, так как он стремится к 0 справа, следовательно |a - 1| = a - 1 — [tex]\lim_{a \to 1^{+} } (\frac{8-2\sqrt{a-1}(a-1)}{3} -2\sqrt{a-1})[/tex]
2. Вычисляем предел — [tex]\frac{8-2\sqrt{1-1} (1-1)}{3} -2\sqrt{1-1}[/tex]

Упрощаем выражение —

1. Сумма двух противоположных чисел равна 0 — [tex]\frac{8-2\sqrt{0}\times0}{3} -2\sqrt{0}[/tex]
2. Любое выражение, умноженное на 0, равно 0; также любой корень из 0 равен 0 — [tex]\frac{8-0}{3} -2\times0[/tex]
3. Удаление 0 не изменяет значение, убираем его из выражения; также любое выражение, умноженное на 0, равно 0 — [tex]\frac{8}{3} -0[/tex]
4. Удаление 0 не изменяет значение, убираем его из выражения — [tex]\frac{8}{3}[/tex]
5. Переводим в смешанное число — [tex]2\frac{2}{3}[/tex]

Ответ:

[tex]\boldsymbol{ \boxed{ \displaystyle \int\limits^{2}_{1} {\frac{x}{\sqrt{x -1} } } \, dx = \frac{8}{3} } }[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}\\[/tex]

По свойствам интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{1} {\frac{x}{\sqrt{x -1} } } \, dx[/tex] - несобственный интеграл 2 рода

Так как [tex]f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x -1} }[/tex] не определена в точке [tex]x = 1[/tex].

Если существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  [tex]\displaystyle \int {\frac{x}{\sqrt{x -1} } } \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {\frac{x}{\sqrt{x -1} } } \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: [tex]t = \sqrt{x - 1}[/tex]

[tex]t^{2} = (\sqrt{x - 1})^{2}[/tex]

[tex]t^{2} = x - 1[/tex]

[tex]x = t^{2} + 1[/tex]

[tex]dx = (t^{2} + 1)' \ dt = 2t \ dt[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \int {\frac{2t(t^{2} + 1)}{t} } \, dt = \int {2(t^{2} + 1) } \, dt = \int {(2t^{2} + 2) } \, dt = \int {2t^{2} } \, dt + \int {2} \, dt =[/tex]

[tex]\displaystyle = 2\int {t^{2} } \, dt + 2\int {1} \, dt = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C= \frac{2(\sqrt{x-1} )^{3}}{3} + 2\sqrt{x - 1} + C[/tex]

Для вычисления несобственного 2 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой при необходимости:

[tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{1} {\frac{x}{\sqrt{x -1} } } \, dx= \Bigg( \frac{2(\sqrt{x-1} )^{3}}{3} + 2\sqrt{x - 1}\Bigg ) \Bigg|^{2}_{1} =[/tex]

[tex]\displaystyle= \Bigg( \frac{2(\sqrt{2-1} )^{3}}{3} + 2\sqrt{2 - 1}\Bigg ) - \Bigg( \frac{2(\sqrt{1-1} )^{3}}{3} + 2\sqrt{1 - 1}\Bigg )=[/tex]

[tex]\displaystyle= \Bigg( \frac{2(\sqrt{1} )^{3}}{3} + 2\sqrt{1}\Bigg ) - \Bigg( \frac{2(\sqrt{0} )^{3}}{3} + 2\sqrt{0}\Bigg )= \Bigg( \frac{2\cdot1}{3} + 2\cdot1\Bigg ) - \Bigg( \frac{2\cdot 0}{3} + 2 \cdot 0\Bigg )=[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \frac{2}{3} + 2\Bigg ) - \Bigg( \frac{ 0}{3} + 0\Bigg )= \frac{2}{3} + 2 - 0 - 0 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2 + 6}{3} = \frac{8}{3}[/tex].