Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \frac{256}{21} } }[/tex] кубических единиц

Примечание:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iiint\limits_{T} dxdydz } }[/tex] - объем тела ограниченного областью [tex]\boldsymbol T[/tex]

Проектировать тело будем на плоскость [tex]XY[/tex], поэтому сведем тройной интеграл к повторному следующим образом:

[tex]V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz[/tex]

Распишем приведение двойного интеграла [tex]\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy[/tex] к повторному:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex]  снизу и сверху соответственно.

Таким образом тройной интеграл расписывается следующим образом:

[tex]V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz[/tex]

То есть:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ V =\displaystyle \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Область [tex]T \ (XYZ)[/tex] ограниченна поверхностями :

[tex]z = 0[/tex]

[tex]z = 4 - y^{2}[/tex]

[tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex]

Снизу область [tex]T[/tex] ограниченна снизу функцией [tex]z = 0[/tex], а сверху функцией [tex]z = 4 - y^{2}[/tex].

Область [tex]G \ (XY):[/tex]

Снизу область [tex]T[/tex] ограниченна снизу функцией [tex]z = 0[/tex], а сверху функцией [tex]z = 4 - y^{2}[/tex].

Пересечения функций [tex]z:[/tex]

[tex]4 - y^{2} = 0[/tex]

[tex]y^{2} = 4[/tex]

[tex]\sqrt{y^{2}} = \sqrt{4}[/tex]

[tex]|y| = 2[/tex]

[tex]y_{1,2} = \pm 2[/tex]

Снизу область [tex]T[/tex] ограниченна функцией [tex]z = 0[/tex] и функцией [tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex].

Пересечения функций есть кривая [tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex].

Таким образом область [tex]G[/tex] ограниченна кривыми:

[tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex]

[tex]y = 2[/tex]

Найдем абсциссы пересечения кривых [tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex] и [tex]y = 2:[/tex]

[tex]\dfrac{x^{2} }{2} = 2|\cdot 2[/tex]

[tex]x^{2} = 4[/tex]

[tex]\sqrt{x^{2}} = \sqrt{4}[/tex]

[tex]|x| =2[/tex]

[tex]x = \pm 2[/tex]

Таким образом двойной интеграл берется от функции [tex]y = \dfrac{x^{2} }{2}[/tex] до функции [tex]y = 2[/tex] в пределах от -2 до 2.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]V = \displaystyle \int\limits^{2}_{-2} \, dx \int\limits^{2}_{0,5x^{2} } \, dy \int\limits^{4 - y^{2}}_{0} \, dz = \int\limits^{2}_{-2} \, dx \int\limits^{2}_{0,5x^{2} } \Bigg( z \bigg|^{4 - y^{2}}_{0} \Bigg) \, dy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2}_{-2} \, dx \int\limits^{2}_{0,5x^{2} } \bigg(4 - y^{2} - 0 \bigg) \, dy = \int\limits^{2}_{-2} \, dx \int\limits^{2}_{0,5x^{2} } \bigg(4 - y^{2}\bigg) \, dy = \int\limits^{2}_{-2} \Bigg( \bigg( 4y - \dfrac{y^{3}}{3} \bigg) \bigg |^{2}_{0,5x^{2} } \Bigg) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2}_{-2} \Bigg(\bigg( 4 \cdot 2 - \dfrac{2^{3}}{3} \bigg) - \bigg( 4 \cdot 0,5x^{2} - \dfrac{(0,5x^{2})^{3}}{3} \bigg) \Bigg) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2}_{-2} \Bigg( \bigg( 8 - \dfrac{8}{3} \bigg) -\bigg( 2x^{2} - \dfrac{0,125x^{6}}{3} \bigg) \Bigg) \, dx = \int\limits^{2}_{-2} \bigg(\frac{16}{3} - 2x^{2} + \dfrac{0,125x^{6}}{3} \bigg) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = 2\int\limits^{2}_{0} \bigg(\frac{16}{3} - 2x^{2} + \dfrac{0,125x^{6}}{3} \bigg) \, dx= 2 \Bigg( \bigg( \frac{16x}{3} - \frac{2x^{3}}{3} + \frac{0,125x^{7}}{21} \bigg) \bigg|^{2}_{0} \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = 2 \Bigg( \bigg( \frac{16 \cdot 2}{3} - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} + \frac{0,125 \cdot 2^{7}}{21} \bigg) - \bigg( \frac{16 \cdot 0}{3} - \frac{2\cdot 0^{3}}{3} + \frac{0,125 \cdot 0^{7}}{21} \bigg) \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = 2 \bigg( \frac{32}{3} - \frac{16}{3} + \frac{16}{21} \bigg) = 2 \bigg( \frac{16}{3} + \frac{16}{21} \bigg) = \frac{2(16 \cdot 7 + 16)}{21} = \frac{2(112 + 16)}{21}=\frac{2 \cdot 128}{21} =[/tex]

[tex]= \dfrac{256}{21}[/tex] кубических единиц.