Ответ:

cos²α = 5/8

Пошаговое объяснение:

[tex] \displaystyle \frac{ \sin3 \alpha }{ \sin \alpha } + \frac{ \cos3 \alpha }{ \cos \alpha } = 1[/tex]

Левую часть напишем над общим знаменателем :

[tex] \displaystyle \frac{ \sin3 \alpha \cdot \cos \alpha + \cos3 \alpha \cdot \sin \alpha }{ \sin \alpha \cos \alpha } = 1[/tex]

В числителе получаем синус суммы sin(x+y) = sinx·cosy+cosx·siny :

[tex] \displaystyle \frac{ \sin(3 \alpha + \alpha )}{ \sin \alpha \cos \alpha } = 1 \\ \\ \frac{ \sin4 \alpha }{ \sin \alpha \cos \alpha } = 1 \\ \\ \frac{2 \sin2 \alpha \cos2 \alpha }{ \sin \alpha \cos \alpha } = 1 \\ \\ \frac{2 \cdot2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot\cos2 \alpha }{ \sin \alpha \cos \alpha } = 1 \\ \\ 4 \cos2 \alpha = 1[/tex]

По формуле двойного угла cos2α = 2cos²α-1 , тогда:

[tex] \displaystyle 4 ( 2 \cos {}^{2} \alpha - 1) = 1 \\ \\ 8 \cos {}^{2} \alpha - 4 = 1 \\ \\ 8 \cos {}^{2} \alpha = 5 \\ \\ \bf \cos {}^{2} \alpha = \frac{5}{8} [/tex]