Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{a_{2010} = 1}[/tex]

Примечание:

[tex]1 < \sqrt{2} < 2[/tex]

[tex]1^{2} < (\sqrt{2})^{2} < 2^{2}[/tex]

[tex]1 < 2 < 4[/tex]

Объяснение:

Последовательность [tex]a_{n}[/tex] задана рекурентно:

[tex]a_{1} = 4; a_{n + 1} = [\sqrt{a_{n}} ][/tex]

Рассмотрим несколько первых элементов последовательности:

[tex]n = 1; a_{1 + 1} = a_{2} = [\sqrt{a_{1}} ] = [\sqrt{4} ] = [2] =2[/tex]

[tex]n = 2; a_{1 + 2} = a_{3} = [\sqrt{a_{2}} ] = [\sqrt{2} ] \approx [1,41] = 1[/tex]

[tex]n = 3; a_{1 + 3} = a_{4} = [\sqrt{1} ] = [1 ] = 1[/tex]

[tex]n = 4; a_{1 + 4} = a_{5} = [\sqrt{1} ] = [1 ] = 1[/tex]

Так как каждый раз в последующем в последовательность будет подставляться число 1, а корень из 1 равен 1 и соотвественно целая часть числа, тоже равна единице, то последовательность начиная с [tex]a_{3}[/tex] является стационарной с элементами равными 1, то есть [tex]a_{2010} = 1[/tex].