1) Если предположить, что нам задано стандартное скалярное произведение по формуле произведение длин на косинус угла между ними (в пространстве [tex]V^2[/tex] или [tex]V^3[/tex] векторов на плоскости или в трехмерном пространстве), то утверждение следует из того, что модуль косинуса угла между векторами равен 1 тогда и только тогда, когда угол равен нулю (векторы сонаправлены) или [tex]\pi[/tex] (противоположно направлены).
2) Если же под скалярным произведением понимается симметричная положительно определенная билинейная форма, заданная на линейном пространстве над полем действительных чисел (и тем самым превращающая линейное пространство в евклидово пространство), надо немного поработать.
Первый случай - если хотя бы один из векторов нулевой. Тогда неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство 0=0. При этом, если [tex]x=\bar 0,[/tex] мы имеем равенство [tex]x=0y,[/tex] если [tex]y=\bar 0,[/tex] то [tex]y=0x.[/tex]
Второй случай - когда оба вектора ненулевые. Если [tex]x=\alpha y[/tex], то
Если же [tex]x\not= \alpha y[/tex] ни при каком [tex]\alpha,[/tex] то [tex]x-\alpha y\not= \bar 0,\Rightarrow (x-\alpha y,x-\alpha y) > 0[/tex] при всех [tex]\alpha,[/tex] поэтому квадратный трехчлен относительно [tex]\alpha[/tex]
Вывод: равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (то есть или
[tex]x=\alpha y,[/tex] или [tex]y=\alpha x[/tex]). Формулировка в условии задания не вполне корректна, впрочем, в большинстве книг пишут именно так.
3) Над полем комплексных чисел утверждение также справедливо, но скорее всего автору задания требуется поле действительных чисел, поэтому этот случай рассматривать не будем.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Доказано требуемое.
Объяснение:
1) Если предположить, что нам задано стандартное скалярное произведение по формуле произведение длин на косинус угла между ними (в пространстве [tex]V^2[/tex] или [tex]V^3[/tex] векторов на плоскости или в трехмерном пространстве), то утверждение следует из того, что модуль косинуса угла между векторами равен 1 тогда и только тогда, когда угол равен нулю (векторы сонаправлены) или [tex]\pi[/tex] (противоположно направлены).
2) Если же под скалярным произведением понимается симметричная положительно определенная билинейная форма, заданная на линейном пространстве над полем действительных чисел (и тем самым превращающая линейное пространство в евклидово пространство), надо немного поработать.
Первый случай - если хотя бы один из векторов нулевой. Тогда неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство 0=0. При этом, если [tex]x=\bar 0,[/tex] мы имеем равенство [tex]x=0y,[/tex] если [tex]y=\bar 0,[/tex] то [tex]y=0x.[/tex]
Второй случай - когда оба вектора ненулевые. Если [tex]x=\alpha y[/tex], то
[tex]|(x,y)|=|(\alpha y,y)|=|\alpha(y,y)|=|\alpha|\cdot |(y,y)|=|\alpha|\cdot ||y||^2=(|\alpha|\cdot ||y||)\cdot ||y||=[/tex]
[tex]=||\alpha y||\cdot ||y||=||x||\cdot ||y||.[/tex]
Если же [tex]x\not= \alpha y[/tex] ни при каком [tex]\alpha,[/tex] то [tex]x-\alpha y\not= \bar 0,\Rightarrow (x-\alpha y,x-\alpha y) > 0[/tex] при всех [tex]\alpha,[/tex] поэтому квадратный трехчлен относительно [tex]\alpha[/tex]
[tex]||y||^2\alpha^2-2(x,y)\alpha+||x||^2 > 0[/tex]
при всех [tex]\alpha,[/tex] что равносильно отрицательности дискриминанта:
[tex]D=4((x,y)^2-||x||^2\cdot ||y||^2 < 0\Leftrightarrow (x,y) < ||x||\cdot ||y||.[/tex]
Вывод: равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (то есть или
[tex]x=\alpha y,[/tex] или [tex]y=\alpha x[/tex]). Формулировка в условии задания не вполне корректна, впрочем, в большинстве книг пишут именно так.
3) Над полем комплексных чисел утверждение также справедливо, но скорее всего автору задания требуется поле действительных чисел, поэтому этот случай рассматривать не будем.