Ответ:

Ряд расходится.

Объяснение:

Исследовать ряд на сходимость:

[tex]\displaystyle \bf \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}[/tex]

• Используем признак Коши:
• Если для ряда
• u₁ + u₂ + u₃ +...+ uₙ + ...     существует
• [tex]\displaystyle \bf \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}=C[/tex] ,
• то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1.

[tex]\displaystyle u_n=\frac{1}{2n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2 },\;\;\;\;\;\sqrt[n]{u_n}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\ \\ \\ C= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =\frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{2}e[/tex]

(второй замечательный предел)

С > 1 ⇒ ряд расходится

Verified answer

Ответ: ряд расходится.

Объяснение:

[tex]\displaystyle\\\sum\limits_ {n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}(1+\frac{1}{n})^{n^2} =\sum\limits_ {n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n(1+\frac{1}{n})^{n^2} \\\\[/tex]

Применяем радикальный признак Коши - находим предел:

                                   [tex]\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{U_n} =p,\\[/tex]

                                p<1 - ряд сходится;

                                р>1 - ряд расходится.

[tex]\displaystyle\\\\ \lim_{n \to \infty} \limits \sqrt[n]{(\frac{1}{2})^n(1+\frac{1}{n})^{n^2} } = \lim_{n \to \infty} \limits \sqrt[n]{(\frac{1}{2})^n}\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{n^2} }} =\lim_{n \to \infty} \limits \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \limits (1+\frac{1}{n} )^{\frac{n^2}{n} }=\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \limits \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \limits (1+\frac{1}{n} )^n=\frac{1}{2}e=\frac{e}{2} \approx1,36 > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\[/tex]

                                                  Ряд расходится.