Verified answer

Ответ:

1. D(y) = (-∞; -0,5)∪(-0,5; 0,5)∪(0,5; +∞)

2. функция четная.

3. у = 0; х = ±0,7

х = 0; у = 2.

4. x = 0,5; x = -0,5 - вертикальные асимптоты.

у = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; 1].

Функция возрастает на промежутках: [1; 0,5), (0,5; +∞)

х min = 0

6. Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; +∞)

Функция вогнута на промежутке: (-0,5; 0,5).

Объяснение:

Сделать полное исследование функции:

[tex]\displaystyle \bf y=\frac{2-4x^2}{1-4x^2}[/tex]

1. Область определения функции:

[tex]\displaystyle 1 -4x^2\neq 0\\\\(1-2x)(1+2x)\neq 0\\\\x\neq 0,5;\;\;\;\;\;x\neq -0,5[/tex]

D(y) = (-∞; -0,5)∪(-0,5; 0,5)∪(0,5; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

[tex]\displaystyle \bf y(-x)=\frac{2-4(-x)^2}{1-4(-x)^2}=\frac{2-4x^2}{1-4x^2}[/tex]

y(-x) = y(x) ⇒ функция четная.

3. Пересечение с осями.

1) С осью Ох   ⇒   у = 0

2 - 4х² = 0

(√2 - 2х)(√2 + 2х) = 0

[tex]\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{2} }{2}\approx \pm0,7[/tex]

2) С осью Оу   ⇒   х = 0

у = 2

4. Асимптоты.

1) Вертикальная.

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \pm0,5} \frac{2-4x^2}{1-4x^2} =\frac{1}{0}=\infty[/tex]

⇒ x = 0,5; x = -0,5 - вертикальные асимптоты.

2) Наклонная у = kx + b

[tex]\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{2-4x^2}{(1-4x^2)\cdot x} =0[/tex]

[tex]\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2-4x^2}{1-4x^2} -0\cdot x\right)= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2} }{\frac{1}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2} } =1[/tex]

⇒ у = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

[tex]\displaystyle y'=\frac{-8x(1-4x^2)-(2-4x^2)\cdot (-8x)}{(1-4x^2)^2} =\\\\=\frac{-8x+32x^3+16x-32x^2}{(1-4x^2)^2} =\frac{8x}{(1-4x^2)^2}[/tex]

y' = 0 ⇒ x = 0

x = 0;   x = 0,5;   x = -0,5

[tex]---(-0,5)---[0]+++(0,5)+++[/tex]

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; 1].

Функция возрастает на промежутках: [1; 0,5), (0,5; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ х min = 0

y(0) = 2

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

[tex]\displaystyle y''=\left(\frac{8x}{(1-4x^2)^2}\right)'=\frac{8\cdot (1-4x^2)^2-8x\cdot2(1-4x^2)\cdot (-8x)}{(1-4x^2)^4} =\\\\=\frac{(1-4x^2)(8-32x^2+128x^2)}{(1-4x^2)^4} =\frac{8+96x^2}{(1-4x^2)^3}[/tex]

Числитель положителен.

Рассмотрим две критические точки: х = -0,5; х = 0,5

• Если на промежутке "+" - функция вогнута, если "-" - функция выпукла.

[tex]---(-0,5)+++(0,5)---[/tex]

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; +∞)

Функция вогнута на промежутке: (-0,5; 0,5)

Точек перегиба нет.

Строим график.