b² - x² ≥ 0 — ограничение корня, выполняется при -|b| ≤ x ≤ |b|;
[tex]-1\leq \dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}\leq 1[/tex] — ограничение арксинуса, выполняется при любых x из области определения, так как [tex]x^2\geq 0\Leftrightarrow -x^2\leq 0\Leftrightarrow b^2-x^2\leq b^2[/tex], а значит, [tex]\left|\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}\right|\leq \left|\dfrac{\sqrt{b^2}}{b}\right|=1[/tex].
Рассмотрим случай, когда b < 0. В таком случае b = -|b|.
Аргумент арксинуса неотрицателен (в числителе — корень, не меньший нуля, в знаменателе — модуль, больший нуля), значит, сам арксинус тоже неотрицателен. |b| и 2 в степени — положительные числа, значит, их произведение положительно. Сумма неотрицательного и положительного чисел даёт положительное число. Значит, такой модуль раскрывается с плюсом. Тогда при b < 0 уравнение имеет вид
Пара чисел (a, b) задаёт в правой части некоторое число, причём неотрицательное. Значит, при b < 0 количество корней не более двух. Такие значения параметра нам не подходят.
Рассмотрим случай b > 0. Тогда аналогично предыдущим рассуждениям можно записать b = |b|, модуль в левой части будет раскрываться с плюсом. Уравнение имеет вид:
Ограничение на корни: -|b| ≤ x ≤ |b|, а учитывая b > 0, -b ≤ x ≤ b. Тогда:
[tex]-b^2\leq \dfrac{1}{2}+2k\leq b^2[/tex]. Количество корней равно количеству целых k, удовлетворяющих данному двойному неравенству. Очевидно, чем больше b, тем больше подходящих k. Сделаем перебор снизу:
Поскольку k лежит в симметричном промежутке, то, если в нём лежит некоторое k₀, в нём будет лежать и -k₀. Чтобы в этом промежутке было не менее 10 решений, необходимо, чтобы k = 5 лежало в нём. Тогда b² ≥ 5 ⇒ b ≥ 3.
Answers & Comments
Ответ:
[tex](a,b)=\{(-2,b):b\geq 4\}\cup\{(-1;b):b\geq 3\},b\in\mathbb{Z}[/tex]
Более простая форма записи:
[tex]\displaystyle \left \{ {{a=-2} \atop {b\geq 4}} \right. ,\left \{ {{a=-1} \atop {b\geq 3}} \right. ,b\in\mathbb{Z}[/tex]
Пошаговое объяснение:
Разберёмся с ограничениями:
Рассмотрим случай, когда b < 0. В таком случае b = -|b|.
Рассмотрим выражение с модулем:
[tex]\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}+b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}\right|=\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{(-|b|)^2-x^2}}{-|b|}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|=\\=\left|-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|=\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}+|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|[/tex]
Аргумент арксинуса неотрицателен (в числителе — корень, не меньший нуля, в знаменателе — модуль, больший нуля), значит, сам арксинус тоже неотрицателен. |b| и 2 в степени — положительные числа, значит, их произведение положительно. Сумма неотрицательного и положительного чисел даёт положительное число. Значит, такой модуль раскрывается с плюсом. Тогда при b < 0 уравнение имеет вид
[tex]-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}+|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}=-2a|b|\\-2\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}=-2a|b|\\\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}=a|b|[/tex]
При [tex]0\leq a|b|\leq \dfrac{\pi}{2}[/tex]:
[tex]\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}=\sin{a|b|}\\\sqrt{b^2-x^2}=|b|\sin{a|b|}\\b^2-x^2=b^2\sin^2{a|b|}\\x^2=b^2-b^2\sin^2{a|b|}[/tex]
Пара чисел (a, b) задаёт в правой части некоторое число, причём неотрицательное. Значит, при b < 0 количество корней не более двух. Такие значения параметра нам не подходят.
Рассмотрим случай b > 0. Тогда аналогично предыдущим рассуждениям можно записать b = |b|, модуль в левой части будет раскрываться с плюсом. Уравнение имеет вид:
[tex]\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}}-b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}}-b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}=2ab\\-2b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}=2ab\\2^{\sin{\pi bx}}=-a\\\sin{\pi bx}=\log_2{(-a)}[/tex]
Область значений синуса — от -1 до 1. Тогда и правая часть должна лежать в этом промежутке:
[tex]-1\leq \log_2{(-a)}\leq 1\\\dfrac{1}{2}\leq -a\leq 2\\-2\leq a\leq -\dfrac{1}{2}[/tex]
Целые a из промежутка: -2 и -1.
Пусть a = -2:
[tex]\sin{\pi bx}=1\\\pi bx=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}\\bx=\dfrac{1}{2}+2k[/tex]
Ограничение на корни: -|b| ≤ x ≤ |b|, а учитывая b > 0, -b ≤ x ≤ b. Тогда:
[tex]-b^2\leq \dfrac{1}{2}+2k\leq b^2[/tex]. Количество корней равно количеству целых k, удовлетворяющих данному двойному неравенству. Очевидно, чем больше b, тем больше подходящих k. Сделаем перебор снизу:
При a = -2 подходят целые b ≥ 4.
Пусть a = -1:
[tex]\sin{\pi bx}=0\\\pi bx=\pi k,k\in\mathbb{Z}\\bx=k\\-b^2\leq k\leq b^2[/tex]
Поскольку k лежит в симметричном промежутке, то, если в нём лежит некоторое k₀, в нём будет лежать и -k₀. Чтобы в этом промежутке было не менее 10 решений, необходимо, чтобы k = 5 лежало в нём. Тогда b² ≥ 5 ⇒ b ≥ 3.
При a = -1 подходят целые b ≥ 3.