Несложно установить, что только при [tex]n = 1[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]1 \le x < 2.[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3};[/tex]
Аналогично, только при [tex]n = 1[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]2 \le x < 3.[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3};[/tex]
Аналогично, при [tex]n = 2[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]3 \le x \le \pi .[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3};[/tex] [tex]3 \le \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3} \le \pi[/tex] при [tex]\frac{\pi }{2} \le a \le \frac{{7\pi }}{2} - 9.[/tex]
Обозначим на рисунке указанные интервалы. Для существования нечетного количества корней выберем промежутки, на которых пересекаются все три из них или находится только один. Получаем [tex]a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right][/tex].
Answers & Comments
Ответ:
[tex]a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right][/tex]
Пошаговое объяснение:
Правая часть уравнения принимает значения [tex]- 1[/tex] или [tex]1[/tex] в зависимости от значений [tex]x[/tex]:
при [tex]2k - 1 \le x < 2k \cos (\pi \cdot [x]) = - 1,[/tex]
при [tex]2k \le x < 2k + 1 \cos (\pi \cdot [x]) = 1[/tex] для любого целого [tex]k.[/tex]
В итоге получается уравнение вида [tex]{\sin ^5}(3x + a) = \pm 1,[/tex] которое равносильно уравнению
[tex]\sin (3x + a) = \pm 1, \\3x + a = \pm \frac{\pi }{2} + 2\pi n, \\x = - \frac{a}{3} \pm \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}, n \in {\rm{Z}}.[/tex]
Рассмотрим три промежутка:
1) [tex]1 \le x < 2[/tex]
[tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.[/tex]
Несложно установить, что только при [tex]n = 1[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]1 \le x < 2.[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3};[/tex]
[tex]1 \le \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3} < 2[/tex] при [tex]a \in \left[ {0;\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right].[/tex]
2) [tex]2 \le x < 3[/tex]
[tex]x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.[/tex]
Аналогично, только при [tex]n = 1[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]2 \le x < 3.[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3};[/tex]
[tex]2 \le \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3} < 3[/tex] при [tex]a \in \left[ {0;\,\,\frac{{5\pi }}{2} - 6} \right].[/tex]
3) [tex]3 \le x \le \pi[/tex]
[tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.[/tex]
Аналогично, при [tex]n = 2[/tex] корни такого вида при заданном диапазоне [tex]a[/tex] попадают в промежуток [tex]3 \le x \le \pi .[/tex] Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен [tex]x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3};[/tex] [tex]3 \le \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3} \le \pi[/tex] при [tex]\frac{\pi }{2} \le a \le \frac{{7\pi }}{2} - 9.[/tex]
Обозначим на рисунке указанные интервалы. Для существования нечетного количества корней выберем промежутки, на которых пересекаются все три из них или находится только один. Получаем [tex]a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right][/tex].