Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

[tex]\left\{\begin{array}{c}by^2+4by-2x+7b+4\le0\\bx^2-2y-2bx+4b-2\le0\end{array}\right;[/tex]

Заметим, что систему можно переписать иначе:

[tex]\left\{\begin{array}{c}b((y+2)^2+3)-2(x-1)+2\le0\\b((x-1)^2+3)-2(y+2)+2\le0\end{array}\right;[/tex]

Введем замену [tex]y+2=u,\;x-1=v[/tex].

[tex]\left\{\begin{array}{c}b(u^2+3)-2v+2\le0\\b(v^2+3)-2u+2\le0\end{array}\right;[/tex]

Заметим, что если [tex](u;\;v)[/tex] решение системы, то [tex](v;\;u)[/tex] тоже.

Тогда полученная система может иметь одно единственное решение, только, если у системы есть решение [tex](u;\;u)[/tex].

Тогда получим:

[tex]b(u^2+3)-2u+2\le0\\bu^2-2u+(3b+2)\le0[/tex]

Заметим, что если [tex]b < 0[/tex], то выведенное неравенство всегда имеет больше одного решения.

[tex]\dfrac{D}{4}=1-b(3b+2)=0[/tex]

Решаем уравнение:

[tex]1-b(3b+2)=0[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}b=\dfrac{1}{3}\\b=-1\end{array}\right;[/tex]

Выше показано, что [tex]b=-1[/tex] посторонний.

Остается [tex]b=\dfrac{1}{3}[/tex]. Действительно, в этом случае имеем, что исходная система неравенств содержит в своем решении единственную пару чисел [tex](4;\;1)[/tex].

Задание выполнено!