Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

[tex]\left\{\begin{array}{c}y\sin x=\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\\\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)=25y^2+6y+1\end{array}\right;\;\;\;\left|y\right|\le1[/tex]

Заметим, что при любом [tex]x[/tex] [tex]4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}[/tex] принимает значения от [tex]4[/tex] до [tex]5[/tex].

Тогда верно, что:

[tex]4\left(6y^2+2y\right)\le\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)\le5\left(6y^2+2y\right)[/tex]

Из второй строки исходной системы следует:

[tex]\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)=25y^2+6y+1[/tex]

Тогда получим:

[tex]4\left(6y^2+2y\right)\le25y^2+6y+1\le5\left(6y^2+2y\right)[/tex]

Решаем это двойное неравенство:

[tex]y\in\left(-\infty;\;-1\right]\cup\left[\dfrac{1}{5};\;+\infty\right)[/tex]

По условию задачи [tex]\left|y\right|\le1[/tex], то есть [tex]-1\le y\le 1[/tex].

Тогда рассматриваем только следующие [tex]y[/tex]:

[tex]y\in\left\{-1\right\}\cup\left[\dfrac{1}{5};\;1\right][/tex]

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда [tex]y=-1[/tex].

Тогда исходная система примет вид:

[tex]\left\{\begin{array}{c}-\sin x=\log_2\dfrac{\left|\sin x\right|}{2}\\4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}=5\end{array}\right;[/tex]

Решение обоих уравнений очевидно и потому опускается.

Отметим только, что в результате получатся пары чисел [tex]\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\;-1\right),\;n\in\mathbb{Z}[/tex], которые удовлетворяют исходной системе.

Рассмотрим теперь промежуток [tex]y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right][/tex].

Обратимся к первой строке исходной системы:

[tex]y\sin x=\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|[/tex]

Заметим, что так как [tex]y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right][/tex] и [tex]-1\le\sin x\le1[/tex], то верна оценка [tex]-1\le y\sin x\le 1[/tex].

По первой строке системы можно сделать подстановку:

[tex]-1\le\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\le1[/tex]

Уйдем от логарифма:

[tex]\dfrac{1}{2}\le\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\le2[/tex]

Заметим, что при [tex]y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right][/tex] верно [tex]1+3y > y[/tex], то есть [tex]\dfrac{y}{1+3y}[/tex] не превосходит единицы. Но и синус лежит в диапазоне от [tex]-1[/tex] до [tex]1[/tex].

То есть дробь [tex]\dfrac{y\sin x}{1+3y}[/tex] на условии задачи будет всегда меньше [tex]2[/tex].

Поэтому можно написать просто:

[tex]\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\ge\dfrac{1}{2}[/tex]

Умножаем обе части неравенства на [tex]2[/tex]:

[tex]\left|\dfrac{2y\sin x}{1+3y}\right|\ge1[/tex]

Дробь [tex]\dfrac{2y}{1+3y}[/tex] не превосходит единицы на условии задачи. Ситуация с синусом аналогичная. Тогда значение большее единицы мы гарантированно получить не можем.

Значит осталось проверить в ручную:

[tex]\left|\dfrac{2y\sin x}{1+3y}\right|=1[/tex]

Что есть следующее:

[tex]\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|=\dfrac{1}{2}[/tex]

Это аргумент логарифма, тогда удобно обратиться к первой строке исходной системы:

[tex]y\sin x=-1[/tex]

Поскольку [tex]y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right][/tex], то равенство теоретически возможно только, если окажется, что [tex]y=1[/tex] и  [tex]\sin x=-1[/tex].

Однако очевидно, что это не решения системы.

Поэтому при [tex]\left|y\right|\le1[/tex] исходная система уравнений имеет решения:

[tex]\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\;-1\right),\;n\in\mathbb{Z}[/tex]

Система уравнений решена!