Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

[tex]\left\{\begin{array}{c}\sin x+\sin^3x+\sin^3y+\sin^5y=a^5+2a^3+a\\\sin x+\sin^3x+a^5=\sin^3y+\sin^5y+a\\\sin x\cdot\sin y\cdot\sin z=a^2\end{array}\right;[/tex]

Заметим, что если сложить первые две строки системы, то сократится много что.

Тогда сложим их:

[tex]2\sin^3x+2\sin x=2a^3+2a[/tex]

Введем функцию [tex]f(t)=2t^3+2t[/tex].

Она монотонна возрастает.

Тогда верно, что:

[tex]f(\sin x)=f(a)\\\sin x=a[/tex]

Подставляем это во вторую строку исходной системы:

[tex]a^5+a^3=\sin^5y+\sin^3y[/tex]

Применяем точно такой же прием.

Введем функцию [tex]f(u)=u^5+u^3[/tex].

Она монотонна возрастает.

Тогда верно, что:

[tex]f(a)=f(\sin y)\\\sin y=a[/tex]

Подставляем в третью строку исходной системы:

[tex]a^2\cdot\sin z=a^2[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}\sin z=1\\a=0\end{array}\right;[/tex]

Очевидно, что [tex]a=0[/tex] подходит.

При этом значении имеем решения:

[tex]\left\{\begin{array}{c}x=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}\\y=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\z=(-1)^m\arcsin k+m\pi,\;m\in\mathbb{Z},\;k\in[-1;\;1]\end{array}\right;[/tex]

Соответственно при [tex]a\in[-1;\;0)\cup(0;\;1]:[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{c}x=(-1)^n\arcsin a+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}\\y=(-1)^k\arcsin a+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\z=\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;[/tex]

Задание выполнено!