Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boldsymbol{ \boxed{\Delta = 54 } }[/tex]

б) [tex]\boldsymbol{ \boxed{\Delta = 27 } }[/tex]

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

[tex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}[/tex]

При сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число определитель матрицы не меняется.

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Объяснение:

19.

а)

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 5 & 1\end{vmatrix}c_{2} - c_{4} =\begin{vmatrix} 2& 1 - 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 - 2 & 1 & 2 \\1 & 2 -(-4) & 3 & -4 \\ 1 & 1 - 1 & 5 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 0 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\1 & 6 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & 5 & 1\end{vmatrix}=[/tex]

Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]=a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} +a_{42} \cdot A_{42}= 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{22} + 6\cdot A_{32} +0 \cdot A_{42}=[/tex]

[tex]= 6A_{32} = 6 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 2& 5 & 1\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} r_{1} - r_{3} = -6 \begin{vmatrix} 2 - 1& 5 - 5& 1 - 1\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -6 \begin{vmatrix} 1& 0& 0\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 1 строке согласно теореме Лапласа:

[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = a_{11} \cdot A_{11} + 0} \cdot A_{12} +0\cdot A_{13} = a_{11} \cdot A_{11} =[/tex]

[tex]= (-6) \cdot1 \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 1& 2\\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -6(1 \cdot 1 - 5 \cdot 2) = -6(1 - 10) = -6 \cdot (-9) = 54[/tex]

б)

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 8 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 1 & 4 & 6 & 0\end{vmatrix} = r_{4} - r_{2};r_{1} - 2r_{2} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 2 - 2 \cdot 1& 1 -2 \cdot (-3) & 1 - 2 \cdot (-6) & 8 - 9 \cdot 2 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 1 - 1 & 4 - (-3) & 6 - (-6) & 0 - 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0& 7 & 13 & -10 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & 7 & 12 & - 9\end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]=a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} +a_{41} \cdot A_{41}= 0 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} +0 \cdot A_{41}=[/tex]

[tex]= A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 7 & 13& -10\\ 2 & 2& -5 \\ 7 &12 & -9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & 13& 10\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix} r_{1} - r_{3}=[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 7 - 7 & 13 - 12& 10 - 9\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1& 1\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix}c_{2} - c_{1} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 0 & 1 - 1& 1\\ 2 & 2 - 5& 5 \\ 7 &12-9 & 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0& 1\\ 2 & -3& 5 \\ 7 &3 & 9\end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 1 строке согласно теореме Лапласа:

[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =0\cdot A_{11} + 0} \cdot A_{12} +1\cdot A_{13} =A_{13} =[/tex]

[tex]= (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 2& -3\\ 7 & 3 \end{vmatrix} = 1(2\cdot 3 - 7 \cdot (-3)) = 6 + 21 =27[/tex]