Ответ: (x²/20) + (y²/5) = 1.

Объяснение:

Уравнение эллипса, если его оси совпадают с осями координат, имеет вид:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Подставим координаты точки А(4; -1).

(4²/a²) + ((-1)²/b²) = 1 или (16/a²) + (1/b²) = 1.

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1:

k 2 = m 2 a 2 + b 2.

Выразим заданное уравнение прямой x+4y-10=0 в виде с угловым коэффициентом.

y = (-1/4)x + (10/4) или y = (-1/4)x + (5/2).

Зная угловой коэффициент касательной m = (-1/4) и параметр к = (5/2), полученные из уравнения прямой, можно выразить зависимость полуосей эллипса.

(5/2)² = (-1/4)²*a² + b², отсюда b² = (5/2)² - (-1/4)²*a² или b² = (25/4) - (1/16)*a².

В уравнение эллипса после подстановки координат точки А подставим вместо полуоси b полученное выражение.

(16/a²) + (1/((25/4) – ((1/16)*a²)) = 1.

Решив это уравнение, получаем значение a² = 20.

Тогда подставив это значение, находим b² = 5.

Получаем ответ: уравнение эллипса (x²/20) + (y²/5) = 1.