Решение .

Вывести условие , при котором прямая  y = kx + b  касается

параболы   y² = 2px   .

Если прямая является касательной к параболе , то у этой прямой и параболы есть ОДНА общая точка .

[tex]\bf y=kx+b\ \ \Rightarrow \ \ \ kx=y-b\ \ ,\ \ x=\dfrac{y-b}{k}\\\\\\y^2=2px=2p\cdot \dfrac{y-b}{k}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ k\, y^2=2p\, y-2pb\ \ ,\\\\\\k\, y^2-2p\, y+2pb=0\ \ ,[/tex]      

[tex]\bf D/4=p^2-k\cdot 2pb=p^2-2kb\cdot p=p\cdot (p-2kb)[/tex]  

Так как решение должно быть единственным , то  D=0  ⇒  

[tex]\bf p\cdot (p-2kb)=0\ \ \Rightarrow \ \ \ p=0\ ,\ p=2kb[/tex]  

Значение р=0 не подходит, так как тогда  уравнение параболы не будет уравнением параболы :  [tex]\bf y^2=2\cdot 0\cdot x\ \ \Rightarrow \ \ \ y=0[/tex]  - это прямая .

Остаётся   [tex]\bf p=2kb[/tex]  .    

Ответ:   условие  [tex]\bf p=2kb\ .[/tex]