Ответ:

Дан  ΔАВС ,  ∠С = 90° , ∠АВС = β  ,  АВ = с  .

 При вращении треугольника АВС около катета ВС получим конус .

У этого конуса высота будет равна  h = BC  , а радиус основания равен  R = AC  .

Объём конуса найдём по формуле   [tex]\bf V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot h[/tex]  .

Выразим катеты  ΔАВС через  с и угол  β  .

[tex]\boldsymbol{h=BC=AB\cdot cos\angle{ABC=c\cdot cos\beta }}[/tex]            

[tex]\boldsymbol{R=AC=AB\cdot sin\angle{ABC=c\cdot sin\beta }}[/tex]  

[tex]\boldsymbol{V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot c^2\cdot sin^2\beta \cdot c\cdot cos\beta =\dfrac{\pi }{3}\cdot c^3\cdot sin^2\beta \cdot cos\beta}[/tex]  

Можно объём записать немного в другом виде, применив формулу синуса двойного угла :

[tex]\boldsymbol{V=\dfrac{\pi }{3}\cdot c^3\cdot sin^2\beta \cdot cos\beta =\dfrac{\pi }{6}\cdot c^3\cdot sin2\beta \cdot sin\beta }[/tex]  

А если применить формулу произведения синусов, то получим

[tex]\boldsymbol{V=\dfrac{\pi }{6}\cdot c^3\cdot sin2\beta \cdot sin\beta =\dfrac{\pi }{12}\cdot c^3\cdot (cos\beta -cos3\beta )}[/tex]    

Можно выьрать любой из трёх ответов .