Verified answer

Ответ:

Есть так называемая универсальная тригонометрическая подстановка . С её помощью можно выразить основные тригонометрические функции через тангенс половинного угла . Применим её .  

[tex]\bf t=tg\dfrac{a}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sina=\dfrac{2\, t}{1+t^2}\ \ ,\ \ cosa=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\ \ ,\ \ tga=\dfrac{2\, t}{1-t^2}[/tex]   .

[tex]\displaystyle \bf a)\ \ tg\dfrac{a}{2}=2\ \ \ \Rightarrow \ \ sina=\dfrac{2\cdot 2}{1+2^2}=\frac{4}{5}=0,8\\\\\\b)\ \ tg\dfrac{a}{2}=3\ \ \ \Rightarrow \ \ cosa=\dfrac{1-3^2}{1+3^2}=-\frac{8}{10}=-0,8\\\\\\c)\ \ tg\dfrac{a}{2}=\sqrt3\ \ \ \Rightarrow \ \ tg\, a=\dfrac{2\cdot \sqrt3}{1+(\sqrt3)^2}=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\\\\\\d)\ \ tg\dfrac{a}{2}=-\sqrt2\ \ \ \Rightarrow \ \ ctga=\frac{1-t^2}{2\, t}=\dfrac{1-(-\sqt2)^2}{2\cdot (-\sqrt2)}=\frac{1-4}{-2\sqrt2}=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{4}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf e)\ \ tg\dfrac{a}{2}=2\ \ \ \Rightarrow \ \ \frac{5\, cosa+4}{10\, sina-1}=\frac{5\cdot \dfrac{1-2^2}{1+2^2}+4}{10\cdot \dfrac{2\cdot 2}{1+2^2}-1}=\frac{5\cdot \dfrac{-3}{5}+4}{10\cdot \dfrac{4}{5}-1}=\\\\\\=\frac{-15+20}{40-5}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}[/tex]