Verified answer

Ответ:

Преобразовать в произведение .

[tex]\bf 1)\ \ sin2a\cdot cos3a-2sin^2a\cdot sin3a=2\, sina\cdot cosa\cdot cos3a-2\, sin^2a\cdot sin3a=\\\\=2\, sina\cdot (cosa\cdot cos3a-sina\cdot sin3a)=2\, sina\cdot cos(a+3a)=2\, sina\cdot cos4a[/tex]  

Применили формулы синуса двойного угла и косинуса суммы .

[tex]\bf 2)\ \ sin^25a-sin^23a=(sin5a-sin3a)(sin5a+sin3a)=\\\\=(2\, sina\cdot cos4a)\cdot (2\, sin4a\cdot cosa)=(2\, sina\cdot cosa)\cdot (2\, sin4a\cdot cos4a)=\\\\=sin2a\cdot sin8a[/tex]  

Применили формулы разности квадратов , разности синусов и суммы синусов , а также формулу синуса двойного угла .

[tex]\bf 3)\ \ sin\alpha \cdot cos\beta +2\, sin^2\dfrac{\alpha }{2}\cdot sin\beta =2\, sin\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\beta +2\, sin^2\dfrac{\alpha }{2}\cdot sin\beta =\\\\\\=2\, sin\dfrac{\alpha }{2}\cdot \Big(cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\beta +sin\dfrac{\alpha }{2}\cdot sin\beta \Big)=2\, sin\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\Big(\dfrac{\alpha }{2}-\beta \Big)[/tex]  

Применили формулы синуса двойного угла и косинуса разности .

[tex]\bf 4)\ \ sin\, 10^\circ +2\cdot sin\, 5^\circ \cdot cos15^\circ +\underbrace{\bf cos\, 50^\circ }_{sin40^\circ }=(sin10^\circ +sin40^\circ )+2\cdot sin\, 5^\circ \cdot cos15^\circ =\\\\=2\, sin25^\circ \cdot cos15^\circ +2\cdot sin\, 5^\circ \cdot cos15^\circ =2\, cos15^\circ \cdot (sin25^\circ +sin\, 5^\circ )=\\\\=2\, cos15^\circ \cdot 2\, sin15^\circ \cdot cos\, 10^\circ =(2\, sin15^\circ \cdot cos15^\circ )\cdot 2\, cos\, 10^\circ =[/tex]  

[tex]\bf =sin\, 30^\circ \cdot 2\, cos\, 10^\circ =\dfrac{1}{2}\cdot 2\, cos\, 10^\circ =cos\, 10^\circ[/tex]  

Применили формулу  [tex]\bf cos\, \alpha =sin(90^\circ -\alpha )[/tex] , а также формулы суммы синусов и синуса двойного угла .