Ответ:

Периметр параллелограмма ABCD равен 85 см.

Пошаговое объяснение:

В параллелограмме с площадью 100 см², биссектрисы углов В и С пересекаются на противоположной стороне в точке Е. Периметр треугольника BEC = 60 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Дано: ABCD - параллелограмм;

ВЕ и СЕ - биссектрисы;

Е ∈ AD;

S (ABCD) = 100 см²;

Р (ΔВЕС) = 60 см.

Найти: Р(ABCD).

Решение:

Проведем высоту ЕН.

Для удобства обозначим: ВЕ = b; CE = a; BC = c; EH = h.

1. Рассмотрим ΔВСЕ.

• В параллелограмме углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180°.

⇒ ∠В + ∠С = 180°

∠1 = ∠2 (ВЕ - биссектриса)

∠3 = ∠4 (СЕ - биссектриса)

⇒ ∠2 + ∠4 = 180° : 2 = 90°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВЕС = 180° - 90° = 90°

⇒ ΔВСЕ - прямоугольный.

2. Разберемся с площадями.

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒ S(ABCD) = ch

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒ S(ΔBCE) = 1/2 ch

Видим, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

⇒ S(ΔBCE) = 100 : 2 = 50 (см²)

3. Теперь разберемся с периметрами.

Рассмотрим ΔАВЕ.

∠1 = ∠2 (условие)

∠6 = ∠2 (накрест лежащие при BC || AD и секущей ВЕ)

⇒ ∠1 = ∠6.

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник  равнобедренный.

⇒ АЕ = АВ

Рассмотрим ΔЕСD.

∠3 = ∠4 (условие)

∠5 = ∠4 (накрест лежащие при BC || AD и секущей CЕ)

⇒ ∠3 = ∠5.

ΔЕСD - равнобедренный.

⇒ ЕD = DC

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ АЕ + ED = AD = BC = c

Тогда АВ + CD = c

• Периметр параллелограмма - сумма длин его сторон.

Р(ABCD) = BC + AD + AB + CD = 3c

4. Найдем сторону c.

Вспомним:

• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Получим систему:

[tex]\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} a+b+c=60 \\ \frac{1}{2}ab=50 \\a^2+b^2=c^2 \end{cases}\end{equation*}[/tex]                [tex]\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} a+b+c=60 \\ ab=100 \\a^2+b^2=c^2 \end{cases}\end{equation*}[/tex]

В третьем уравнении левую часть дополним до полного квадрата, для этого прибавим и вычтем 2ab:

[tex]\displaystyle (a^2+2ab+b^2)-2ab=c^2\\\\(a+b)^2-2ab=c^2\\\\[/tex](1)

Из первого уравнения:

[tex]a+b=60-c[/tex]

из второго уравнения:

[tex]ab = 100[/tex]

подставим в выражение (1)

[tex]\displaystyle (60-c)^2-2\cdot100=c^2\\\\3600-120c+c^2-200=c^2\\\\120c=3400\\\\c=\frac{85}{3}\;_{(CM)}[/tex]

⇒ P (ABCD) = 3 · c = 85 (см)

Периметр параллелограмма ABCD равен 85 см.

#SPJ1