Смотри....................

Verified answer

Ответ и Объяснение:

Перевод: Функция f(x) задана формулой [tex]\tt f(x) =\sqrt{6 \cdot x+21} +\sqrt{15^3}[/tex].

1) Найдите производную функции f(x);

2) Напишите уравнения касательной к графику функции

[tex]\tt g(x) =f(x)-15^{1,5}[/tex]

в точке x₀ = -2.

Информация: 1) Уравнение касательной к графику функции g(x) в точке x₀ = а в общем виде: [tex]\tt y = g(a) + g'(a) \cdot (x - a)[/tex].

2) Производная от сложной функции: [tex]\tt (f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex].

3) Табличная производная: [tex]\tt (x^n)'=n \cdot x^{n-1}[/tex].

Решение. 1) Найдём производную от функции f(x):

[tex]\tt f'(x) =(\sqrt{6 \cdot x+21} +\sqrt{15^3})'=(\sqrt{6 \cdot x+21})' +(\sqrt{15^3})'= \\\\=((6 \cdot x+21)^{0,5})' +0=0,5 \cdot (6 \cdot x+21)^{0,5-1} \cdot (6 \cdot x+21)'=\\\\=0,5 \cdot (6 \cdot x+21)^{-0,5} \cdot (6 \cdot (x)'+(21)')=\\\\=0,5 \cdot (6 \cdot x+21)^{-0,5} \cdot (6+0)= 3\cdot (6 \cdot x+21)^{-0,5} =\dfrac{3}{\sqrt{6 \cdot x+21} } .[/tex]

2) Определим функцию g(x) и g(-2):

[tex]\tt g(x) =f(x) -15^{1,5}=f(x) -15^{\dfrac{3}{2} }=\sqrt{6 \cdot x+21}+ \sqrt{15^3}-\sqrt{15^3} =\sqrt{6 \cdot x+21}[/tex]

[tex]\tt g(-2) =\sqrt{6 \cdot (-2)+21}=\sqrt{-12+21}=\sqrt{9}=3[/tex].

Найдём производную от функции g(x) и g '(-2):

[tex]\tt g'(x) =(f(x) -15^{1,5})'=f'(x) -(15^{1,5})'= \dfrac{3}{\sqrt{6 \cdot x+21} } -0=\dfrac{3}{\sqrt{6 \cdot x+21} }[/tex],

[tex]\tt g'(-2) =\dfrac{3}{\sqrt{6 \cdot (-2)+21} }=\dfrac{3}{\sqrt{-12+21} }=\dfrac{3}{\sqrt{9} }=\dfrac{3}{3} =1[/tex].

Уравнения касательной к графику функции g(x) в точке x₀ = -2:

y = 3 + 1·(x - (-2)) или

y = 3 + x +2 или

y = x + 5.

#SPJ1