Verified answer

Ответ:

6. Наименьшее значение функции равно f(1) = -1/3. Ответ В.

7. 1 → Б (-∞; +∞);   2 → Д [-3; +∞);   3 → А (-∞; 2]; [4; +∞);   4 → В  [1,5; 2].

Объяснение:

6. Найти наименьшее значение функции:

[tex]\displaystyle \bf f(x)=x-\frac{4}{3}x^3[/tex]

на промежутке [0; 1]

Найдем производную

[tex]\displaystyle f'(x)=1-\frac{4}{3}\cdot 3x^2=1-4x^2[/tex],

приравняем к нулю и найдем корни.

[tex]\displaystyle \bf 1-4x^2=0\\\\(1-2x)(1+2x)=0\\\\x_1=\frac{1}{2};\;\;\;\;\;x_2=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]---[-\frac{1}{2} ]+++[\frac{1}{2} ]---[/tex]

x₂ - в данный интервал не входит.

Теперь найдем значение функции в точке 1/2 и на концах отрезка:

[tex]\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ \\ f(0) = 0\\ \\ f(1) = 1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}[/tex]

Наименьшее значение функции равно f(1) = -1/3.

7. Установить соответствие между функциями (1 - 4) и промежутками их возрастания (А - Д)

1)  f(x) = 1,5x + 2

Найдем производную:

f'(x) = 1,5

f'(x) > 0   ⇒   функция возрастает на всем промежутке.

1 → Б (-∞; +∞)

2) f(x) = x² + 6x + 9

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

f'(x) = 2x + 6

2x + 6 = 0   ⇒   x = -3

Отметим rорень на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

[tex]---[-3]+++[/tex]

Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке [-3; +∞)

2 → Д [-3; +∞)

3) f(x) = (1/3) x³ - 3x² + 8x - 4

f'(x) = 1/3 · 3x² - 3 · 2x + 8 = x² - 6x + 8

По теореме Виета:

х₁ = 2;     х₂ = 4

[tex]+++[2]---[4]+++[/tex]

Функция возрастает на промежутке (-∞; 2]; [4; +∞)

3 → А (-∞; 2]; [4; +∞)

4. f(x) = -6x + 3,5x² - (2/3) x³

f'(x) = -6 + 3,5 · 2x - (2/3) · 3x² = -6 + 7x - 2x²

-6 + 7x - 2x² = 0   | · (-1)

2x² - 7x + 6 = 0

D = 49 - 48 = 1   ⇒   √D = 1

x₁ = 2;   x₂ = 6/4 = 1,5

[tex]---[1,5]+++[2]---[/tex]

Функция возрастает на промежутке [1,5; 2]

4 → В  [1,5; 2]