Ответ:

[tex]y=\pm e^x\sqrt{x^2+C}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]y=\dfrac{x}{y}e^{2x}+y.[/tex]

Это - уравнение Бернулли, которое легко сводится к линейному уравнению. Для этого домножаем уравнение на y:

[tex]yy'-y^2=xe^{2x};\ \dfrac{1}{2}(y^2)'-y^2=xe^{2x};\ y^2=u;\ u'-2u=2xe^{2x}.[/tex]

Далее можно применить стандартную процедуру решения линейного уравнения (метод вариации произвольного постоянного), или постараться решить, ориентируясь на  конкретные особенности нашего уравнения. Пойдем по второму пути. Делим уравнение на [tex]e^{2x}:[/tex]

[tex]e^{-2x}u'-2e^{-2x}u=2x;\ u'e^{-2x}+u(e^{-2x})'=2x;\ (ue^{-2x})'=2x;\ ue^{-2x}=2\int x\, dx;[/tex]

[tex]ue^{-2x}=x^2+C;\ u=x^2e^{2x}+Ce^{2x};\ y^2=x^2e^{2x}+Ce^{2x}.[/tex]