Verified answer

Ответ:

[tex]x=0.\ x > 0\Rightarrow y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2;\ C > 0.\ x < 0\Rightarrow y-\sqrt{x^2+y^2}=C;\ C < 0[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]x\, dy-y\, dx=\sqrt{x^2+y^2}\, dx;[/tex]  замена y=ux; dy=x du+u dx;

[tex]x(x\, du+u\, dx)-ux\, dx=\sqrt{x^2(1+u^2)}\, dx;\ x^2\, du=|x|\sqrt{1+u^2}\, dx.[/tex]

1 случай: x=0 - решение.

2 случай: x>0⇒|x|=x;  [tex]x^2\, du=x\sqrt{1+u^2}\, dx;\ \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\dfrac{dx}{x};[/tex]

[tex]\int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int\dfrac{dx}{x};\ \ln(u+\sqrt{1+u^2})=\ln x+\ln C;\ C > 0;[/tex]

[tex]u+\sqrt{1+u^2}= Cx;\, \dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=Cx;[/tex]

[tex]y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2.[/tex]

3 случай: x<0⇒|x|= - x;   [tex]x^2\, du=-x\sqrt{1+u^2}\, dx;\ \int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=-\int\dfrac{dx}{x};[/tex]

[tex]\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln(-x)+\ln C;\ C > 0;[/tex]

[tex]u+\sqrt{1+u^2}=-\dfrac{C}{x};\ \dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=-\dfrac{C}{x};\ y-\sqrt{x^2+y^2}=-C.[/tex]