[tex]y'' + 8 \sin y \cos^3 y = 0,\quad y(0) = 0,\quad y'(0)=2.[/tex]

Обозначим [tex]y' = p(y)[/tex]. Тогда [tex]y'' = \dot{p} y' = \dot{p} p[/tex], где точкой обозначена производная по [tex]y[/tex].

[tex]p\dot{p} + 8\sin y \cos^3 y = 0,\\[2ex] p\,\mathrm{d}p = - 8\sin y\cos^3 y\,\mathrm{d}y,\\[2ex] p^2 = 4\cos^4 y + C_1.[/tex]

В наших переменных

[tex]p(y(x)) = y'(x) \implies p(y(0)) = y'(0)\iff p(0) = 2.[/tex]

Тогда,

[tex]4 = 4 + C_1 \iff C_1 = 0.[/tex]

Имеем [tex](y')^2 = 4 \cos^4 y[/tex]. Поскольку [tex]y'(0) = {+2} > 0[/tex], то данное уравнение равносильно уравнению

[tex]y' = 2\cos^2 y,\\[2ex] \dfrac{\mathrm{d}y}{\cos^2 y} = 2\,\mathrm{d}x,\\[2ex] \mathop{\mathrm{tg}} y = 2x+C_2.[/tex]

В силу [tex]y(0) = 0[/tex] получим, что [tex]C_2 = 0[/tex].

Ответ. [tex]\mathop{\mathrm{tg}} y = 2x[/tex].