Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{1}_{0} \, dy \int\limits^{2 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx = \int\limits^{1}_{0} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{2}_{1} \, dx \int\limits^{2 -x}_{0} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} \, dy \int\limits^{2 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx[/tex] - интегрирование происходит по [tex]y[/tex], так как первый интеграл интегрируется по [tex]dy[/tex].

Построим область интегрирования (рис(1)) по y:

[tex]x = y; y = x[/tex]

[tex]x = 2 - y; y = 2- x[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

[tex]y = 1[/tex]

При интегрировании по x нужно записать функции обратные тем, которые были при интегрировании по y, то есть:

[tex]y = x;[/tex]

[tex]y = 2 - x[/tex]

Пересечения с прямой [tex]y = 0:[/tex]

[tex]y = x;[/tex] в точке (0;0)

[tex]y =2- x;[/tex] в точке (2;0)

Пересечения с прямой [tex]y = 1:[/tex]

[tex]y = x;[/tex] в точке (1;1)

[tex]y =2- x;[/tex] в точке (1;1)

Найдем абсциссу пересечения графиков [tex]y = x[/tex] и [tex]y = 2 - x[/tex]

[tex]x = 2- x[/tex]

[tex]2x = 2|:2[/tex]

[tex]x = 1[/tex]

Построим область интегрирования (рис(2)) по x:

[tex]y = x;[/tex]

[tex]y = 2 - x;[/tex]

[tex]x = 0;[/tex]

[tex]x = 1;[/tex]

[tex]x = 2;[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} \, dy \int\limits^{2 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx = \int\limits^{1}_{0} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{2}_{1} \, dx \int\limits^{2 -x}_{0} {f(x,y)} \, dy[/tex]