Verified answer

Ответ:

Тут и далее речь идет только о числовых последовательностях область определений которых является множество [tex]\mathbb N[/tex].

По определению монотонными последовательностями называют:

• Неубывающей
• Невозрастающей
• Убывающей
• Возрастающей

По определению:

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют возрастающей, если для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется равенство [tex]a_{n} < a_{n + 1}[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\forall n \in \mathbb N : a_{n} < a_{n + 1}[/tex])

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют убывающей, если для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется равенство [tex]a_{n} > a_{n + 1}[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\forall n \in \mathbb N : a_{n} > a_{n + 1}[/tex])

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют невозрастающей, если для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется равенство [tex]a_{n} \geq a_{n + 1}[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\forall n \in \mathbb N : a_{n} \geq a_{n + 1}[/tex])

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют неубывающей, если для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется равенство [tex]a_{n} \leq a_{n + 1}[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\forall n \in \mathbb N : a_{n} \leq a_{n + 1}[/tex])

Таким образом, если последовательность [tex]a_{n}[/tex] не относится ко всем выше перечисленным последовательностям, то она не является монотонной.

32.3

1)

[tex]a_{n} = (-1)^{n}[/tex]

[tex]n = 1:a_{1} = (-1)^{1} = -1[/tex]

[tex]n = 2:a_{2} = (-1)^{2} = 1[/tex]

[tex]n = 3:a_{1} = (-1)^{3} = -1[/tex]

Последовательность не является монотонной

2)

[tex]a_{n} = (n - 4)^{2}[/tex]

[tex]n = 1:a_{1} = (1 - 4)^{2} = (-3)^{2} = 9[/tex]

[tex]n = 2:a_{2} = (2 - 4)^{2} = (-2)^{2} = 4[/tex]

[tex]n = 9:a_{9} = (9 - 4)^{2} = (5)^{2} = 25[/tex]

Последовательность не является монотонной

3)

[tex]a_{n} = \sin \dfrac{\pi n}{2}[/tex]

[tex]n = 1: a_{1} = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1[/tex]

[tex]n = 2: a_{2} = \sin \dfrac{2\pi }{2} = \sin \pi = 0[/tex]

[tex]n = 3: a_{3} = \sin \dfrac{3\pi }{2} = -1[/tex]

[tex]n = 4: a_{2} = \sin \dfrac{4\pi }{2} = \sin 2 \pi = 0[/tex]

Последовательность не является монотонной

4)

[tex]a_{n} = n^{({-1})^{n}}[/tex]

Воспользуемся результатами из примера 1)

[tex]n = 1:a_{1} = (1)^{-1} = 1[/tex]

[tex]n = 2:a_{2} = (2)^{1} = 2[/tex]

[tex]n = 3:a_{1} = (3)^{-1} = \dfrac{1}{3}[/tex]

Последовательность не является монотонной

5)

[tex]a_{n} = n + (-1)^{n}[/tex]

Воспользуемся результатами из примера 1)

[tex]n = 1:a_{1} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0[/tex]

[tex]n = 2:a_{2} = 2 + 1 =3[/tex]

[tex]n = 3:a_{3} = 3 +(- 1) =3 - 1 = 2[/tex]

Последовательность не является монотонной

6)

[tex]a_{n} = \sin n^{\circ}[/tex]

[tex]n = 90:a_{90}= \sin 90^{\circ} = 1[/tex]

[tex]n = 180:a_{180}= \sin 180^{\circ} = 0[/tex]

[tex]n = 270:a_{270}= \sin 270^{\circ} = -1[/tex]

[tex]n = 360:a_{360}= \sin 360^{\circ} = 0[/tex]

Последовательность не является монотонной

32.4

1)

[tex]a_{n} = |n - 3|[/tex]

[tex]n = 1: a_{1} = |1 - 3| = |-2| = 2[/tex]

[tex]n = 2: a_{2} = |2 - 3| = |-1| = 1[/tex]

[tex]n = 7: a_{7} = |2 - 7| = |-5| = 5[/tex]

Последовательность не является монотонной

2)

[tex]a_{n} = \cos \dfrac{\pi n}{2}[/tex]

[tex]n = 1: a_{1} = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0[/tex]

[tex]n = 2: a_{2} = \cos \dfrac{2\pi}{2} = \cos \pi = -1[/tex]

[tex]n = 4: a_{4} = \cos \dfrac{4\pi}{2} = \cos 2\pi = 1[/tex]

Последовательность не является монотонной

3)

[tex]a_{n} = n - (-1)^{n}[/tex]

Воспользуемся результатами из номера 32.3 пример 5) сменив знак на противоположный

[tex]n = 1:a_{1} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2[/tex]

[tex]n = 2:a_{2} = 2 - 1 =1[/tex]

[tex]n = 3:a_{3} = 3 -(- 1) =3 + 1 = 4[/tex]

Последовательность не является монотонной

4)

[tex]a_{n} = (1 + (-1)^{n})n[/tex]

Воспользуемся результатами из номера 32.3 пример 1)

[tex]n = 1: a_{1} = (1 + (-1)^{1})1 = (1 + (-1)) = 1 - 1 = 0[/tex]

[tex]n = 2: a_{2} = (1 + (-1)^{2})2 = 2(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4[/tex]

[tex]n = 3: a_{3} = (1 + (-1)^{3})3 = 3(1 - 1) = 3 \cdot 0 = 0[/tex]

[tex]n = 4: a_{4} = (1 + (-1)^{4})4 = 4(1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8[/tex]

Последовательность не является монотонной