Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной снизу, если существует такое число [tex]c[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \geq c[/tex].
(Определение через кванторы: [tex]\exists c \in X \ \forall n \in \mathbb N: x_{n}\geq c[/tex])
Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной сверху, если существует такое число [tex]C[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \leq C[/tex].
(Определение через кванторы: [tex]\exists C \in X \ \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C[/tex])
Ответ:
Рассмотрим последовательность [tex]|a_{n}|[/tex]. Так как каждый элемент последовательности взят по модулю, то [tex]\forall |a_{n}|\geq 0[/tex], то есть по определению последовательность ограниченна снизу числом 0.
Так как по условию [tex]\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.[/tex], то по определению последовательность ограниченна сверху, то есть последовательность элементов [tex]|a_{n}|[/tex] по определению является ограниченной.
Если [tex]\forall a_{n} \geq 0[/tex], то все предыдущие рассуждения верны и последовательность является ограниченной.
Если [tex]\forall a_{n} \leq 0[/tex], то в выражение [tex]M \geq |a_{n}|[/tex], можно раскрыть модуль и тогда [tex]M \geq -a_{n} \Longleftrightarrow a_{n} \geq -M[/tex], то есть данная последовательность ограниченна снизу числом [tex]-M < 0[/tex] (так как по условию [tex]M > 0[/tex]), а сверху числом 0.
Если в последовательность входят произвольные по знаку [tex]a_{n}[/tex], то положительные будут ограниченны сверху числом [tex]M[/tex] по определению, а отрицательные снизу числом [tex]-M[/tex], это можно обосновать рассмотрев подпоследовательности от [tex]a_{k} < 0[/tex] до нуля и от нуля до [tex]a_{m} > 0[/tex],то есть по-сути последовательность разбивается на 2 подпоследовательности и потом для каждой из них доказывается из верного утверждения, что [tex]\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.[/tex], что последовательность ограниченна снизу число [tex]-M[/tex], а сверху числом [tex]M[/tex].
Answers & Comments
Verified answer
Примечание:
По определению:
Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной снизу, если существует такое число [tex]c[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \geq c[/tex].
(Определение через кванторы: [tex]\exists c \in X \ \forall n \in \mathbb N: x_{n}\geq c[/tex])
Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной сверху, если существует такое число [tex]C[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \leq C[/tex].
(Определение через кванторы: [tex]\exists C \in X \ \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C[/tex])
Ответ:
Рассмотрим последовательность [tex]|a_{n}|[/tex]. Так как каждый элемент последовательности взят по модулю, то [tex]\forall |a_{n}|\geq 0[/tex], то есть по определению последовательность ограниченна снизу числом 0.
Так как по условию [tex]\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.[/tex], то по определению последовательность ограниченна сверху, то есть последовательность элементов [tex]|a_{n}|[/tex] по определению является ограниченной.
Если [tex]\forall a_{n} \geq 0[/tex], то все предыдущие рассуждения верны и последовательность является ограниченной.
Если [tex]\forall a_{n} \leq 0[/tex], то в выражение [tex]M \geq |a_{n}|[/tex], можно раскрыть модуль и тогда [tex]M \geq -a_{n} \Longleftrightarrow a_{n} \geq -M[/tex], то есть данная последовательность ограниченна снизу числом [tex]-M < 0[/tex] (так как по условию [tex]M > 0[/tex]), а сверху числом 0.
Если в последовательность входят произвольные по знаку [tex]a_{n}[/tex], то положительные будут ограниченны сверху числом [tex]M[/tex] по определению, а отрицательные снизу числом [tex]-M[/tex], это можно обосновать рассмотрев подпоследовательности от [tex]a_{k} < 0[/tex] до нуля и от нуля до [tex]a_{m} > 0[/tex],то есть по-сути последовательность разбивается на 2 подпоследовательности и потом для каждой из них доказывается из верного утверждения, что [tex]\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.[/tex], что последовательность ограниченна снизу число [tex]-M[/tex], а сверху числом [tex]M[/tex].