[tex]f(x) = ln( \cos(3x) ) \\ f'(x) = ( ln( \cos(3x) ) )' \times ( \cos(3x) )' = \frac{1}{ \cos(3x) } ( - 3 \sin(3x) ) = \\ = - \frac{3 \sin(3x) }{ \cos(3 x) } = - 3 \tan(3x) \\ f'( \frac{\pi}{9} ) = - 3 \tan(3 \times \frac{\pi}{9} ) = - 3 \tan( \frac{\pi}{3 } ) = - 3 \sqrt{3} [/tex]

Ответ: В)

Сначала нам нужно найти производную от данной функции. Она является сложной. Расставим действия:

1) определяется значение 3х

2) определяется значения косинуса от 3х

3) определяется натуральный логарифм от всего выражения

Ищем производную, действия выполняем в обратном порядке, т.е. сначала ищем производную от натурального логарифма, затем от косинуса, после от 3х

Формулы, который понадобятся для нахождения производной:

[tex]\displaystyle(\ln x)'=\frac{1}{x} \\\\(\cos x)'=-\sin x\\\\(kx)'=k[/tex]

Решение:

[tex]f(x)=\ln\cos 3x\\\\f'(x)=(\ln\cos 3x)'\times(\cos 3x)'\times(3x)'=\dfrac{1}{\cos 3x} \times(-\sin3x)\times3=\\\\=-\dfrac{3\sin3x}{\cos3x} =-3\text{tg}3x[/tex]

Теперь ищем значение производной при [tex]x=\dfrac{\pi}{9}[/tex]:

[tex]\displaystyle f'\bigg(\frac{\pi}{9} \bigg)=-3\text{tg}\bigg(3\times\frac{\pi}{9} \bigg)=-3\text{tg}\bigg(\frac{\pi}{3} \bigg)=-3\sqrt{3}[/tex]

Если непонятно, куда пропал тангенс:

[tex]\text{tg}\dfrac{\pi}{3}[/tex] - табличное значение, он равен [tex]\sqrt{3}[/tex]

Ответ: В