Ответ:

Дифференциальное уравнение  [tex]\bf y'-\dfrac{2}{x+1}\cdot y=(x+1)^3[/tex]  .

Проверим, является ли функция  [tex]\bf y=\dfrac{(x+1)^4}{2}+(x+1)^2[/tex]  решением заданного уравнения .

Найдём производную.

[tex]\bf y'=\dfrac{4(x+1)^3}{2}+2(x+1)[/tex]  

Подставим  [tex]\bf y'[/tex]  и  [tex]\bf y[/tex]  в левую часть уравнения .

[tex]\bf \dfrac{4(x+1)^3}{2}+2(x+1)-\dfrac{2}{x+1}\cdot \Big(\dfrac{(x+1)^4}{2}+(x+1)^2\Big)=\\\\\\=2(x+1)^3\underline{+2(x+1)}-(x+1)^3\underline{-2(x+1)}=(x+1)^3[/tex]  

Получили верное равенство   [tex]\bf (x+1)^3=(x+1)^3[/tex]  .

Значит указанная функция является решением заданного уравнения .

Verified answer

Объяснение:

[tex]\displaystyle\\y=\frac{(x+1)^4}{2}+(x+1)^2 \\\\1)\ \\\\y'=(\frac{(x+1)^4}{2}+(x+1)^2)'=(\frac{(x+1)^4}{2})'+((x+1)^2)'=\frac{4(x+1)^3}{2} +2(x+1)=\\\\\\=2(x+1)^3+2(x+1)=\\\\2)\ \\\\\frac{2}{(x+1)}*y= \frac{2}{(x+1)}*(\frac{(x+1)^4}{2}+(x+1)^2)=\frac{2(x+1)(\frac{(x+1)^3}{2}+(x+1)) }{x+1}=\\\\\\=2(\frac{(x+1)^3}{2} +(x+1)) =(x+1)^3+2(x+1)[/tex]

[tex]3)\ \displaystyle\\\\\\y'-\frac{2}{x+1} y=2(x+1)^3+2(x+1)-((x+1)^3+2(x+1))=\\\\\\=2(x+1)^3+2(x+1)-(x+1)^3-2(x+1)=(x+1)^3.[/tex]