Verified answer

Ответ:

Примечание:

22.16

[tex]y = 2^{k}[/tex] - так как это показательная функция, то по свойствам показаетльной функции [tex]y > 0[/tex] при [tex]k \in \mathbb N[/tex].

Так как по условию [tex]a,b \geq 0[/tex] , то [tex](a + b) \geq 0[/tex], таким образом неравенство можно домнажать на число [tex](a + b)[/tex].

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex]

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex] методом математической индукции.

22.16

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{n} \leq \frac{a^{n} +b^{n}}{2} ; a,b \geq 0;n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{1} \leq \frac{a^{1} +b^{1}}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{a + b}{2}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{k} \leq \frac{a^{k} +b^{k}}{2}}[/tex] - пусть верно

[tex]\displaystyle \frac{(a + b)^{k}}{2^{k}} \leq \frac{a^{k} +b^{k}}{2} \bigg| \cdot(2 \cdot 2^{k} )[/tex]

[tex]2(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a^{k} + b^{k})| \cdot(a + b)[/tex]

[tex]2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{k + 1} \leq \frac{a^{k + 1} +b^{k + 1}}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{(a + b)^{k + 1}}{2^{k + 1}} \leq \frac{a^{k + 1} +b^{k + 1}}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{(a + b)(a + b)^{k}}{2 \cdot 2^{k}} \leq \frac{a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k}}{2} \bigg | \cdot (2 \cdot 2^{k})[/tex]

[tex](a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k}) | \cdot 2[/tex]

[tex]2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})[/tex]

(мы предполагаем, что для [tex]n = k[/tex] неравенство является верным, тогда так как [tex]2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})[/tex], то заменим выражение [tex]2(a + b)(a + b)^{k}[/tex] на большее выражение [tex]2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})[/tex] и доказав более сильное неравенство [tex]2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})[/tex] докажем, что и первоначальное [tex]2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})[/tex] является верным и на основание математической индукции докажем исходное утверждение)

[tex]2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})|:2^{k}[/tex]

[tex](a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})[/tex]

[tex]a \cdot a^{k} + a \cdot b^{k} + b \cdot a^{k} + b \cdot b^{k} \leq 2a\cdot a^{k} + 2b \cdot b^{k}[/tex]

[tex]a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k} - a \cdot b^{k} - b \cdot a^{k} \geq 0[/tex]

[tex]a\cdot a^{k} - b \cdot a^{k} + b \cdot b^{k} - a \cdot b^{k} - \geq 0[/tex]

[tex]a^{k}(a - b) + b^{k}(b - a) \geq 0[/tex]

[tex]a^{k}(a - b) - b^{k}(a - b) \geq 0[/tex]

[tex](a - b)(a^{k} - b^{k}) \geq 0[/tex]

Если [tex]a \geq b[/tex], то [tex]a - b \geq 0[/tex] и [tex]a^{k} - b^{k} \geq 0[/tex], а произведение двух положительных чисел есть положительное число.

Если [tex]a < b[/tex], то [tex]a - b < 0[/tex] и [tex]a^{k} - b^{k} < 0[/tex], а произведение двух отрицательных чисел есть положительное число.

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{n} \leq \frac{a^{n} +b^{n}}{2} }[/tex] при [tex]a,b \geq 0;n \in \mathbb N[/tex].

22.17

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{a^{n + 1}}{b^{n}} \geq (n + 1)a - nb; a,b > 0; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a^{1 + 1}}{b^{1}} \geq (1 + 1)a - 1 \cdot b[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a^{2}}{b} \geq 2a - b| \cdot b[/tex]

[tex]a^{2} \geq 2ab - b^{2}[/tex]

[tex]a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0[/tex]

[tex](a - b)^{2} \geq 0[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{a^{k + 1}}{b^{k}} \geq (k + 1)a - kb}[/tex] - пусть верно

[tex]\displaystyle \frac{a^{k + 1}}{b^{k}} \geq (k + 1)a - kb \bigg| \cdot \frac{a}{b}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a \cdot a^{k + 1}}{b \cdot b^{k}} \geq \frac{a^{2}(k + 1)}{b} - ka[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a^{k + 1 + 1}}{b^{k + 1}} \geq (k + 1 + 1)a - (k + 1)b[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{a \cdot a^{k + 1}}{ b \cdot b^{k}} \geq a(k + 2) - b(k + 1)[/tex]

Продожение решения смотрите в вордовском файле, а также на фотографиях!!!